[HtN]

Demuestra que toda sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{\mathbb{N}}} \) contiene una subsucesión monótona.

[delmar]

Hola

Considera el máximo primero de \( \left\{{a_1}\right\} \) luego de \( \left\{{a_1,a_2}\right\} \) luego de \( \left\{{a_1,a_2,a_3}\right\} \) y asi sucesivamente, esa sucesión de máximos ¿es una subsucesión de  la sucesión dada, por qué? ¿es decreciente?¿es creciente? ¿qué se puede decir?


Saludos

Nota: disculpen pero es incorrecto lo dicho, se supone q la subscesion es infinita

[Luis Fuentes]

Hola

Demuestra que toda sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{\mathbb{N}}} \) contiene una subsucesión monótona.

Sea \( A=\{n\in \Bbb N|a_k>a_n,\quad \forall k>n\} \).

- Si \( A=\{n_i\} \) es un conjunto de índices infinito ordenado de manera creciente es una sucesión \( \{a_{n_i}\} \) creciente.

- Si es finito sea \( N \) su máximo. Tomamos \( n_1=N+1\not\in A \). Entonces existe \( n_2>n_1 \) tal que \( a_{n_2}\leq A_{n_1}
 \). Como \( n_2\not\in A \), existe \( n_3>n_2 \) tal que \( a_{n_3}\leq a_{n_2} \) y así sucesivamente, se construye una sucesión decreciente.

Saludos.