Autor Tema: Probar que toda sucesión tiene una subsucesión monótona

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11 Mayo, 2022, 02:02 am
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HtN

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Demuestra que toda sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{\mathbb{N}}} \) contiene una subsucesión monótona.

11 Mayo, 2022, 02:52 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Considera el máximo primero de \( \left\{{a_1}\right\} \) luego de \( \left\{{a_1,a_2}\right\} \) luego de \( \left\{{a_1,a_2,a_3}\right\} \) y asi sucesivamente, esa sucesión de máximos ¿es una subsucesión de  la sucesión dada, por qué? ¿es decreciente?¿es creciente? ¿qué se puede decir?


Saludos

Nota: disculpen pero es incorrecto lo dicho, se supone q la subscesion es infinita

11 Mayo, 2022, 11:32 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Demuestra que toda sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{\mathbb{N}}} \) contiene una subsucesión monótona.

Sea \( A=\{n\in \Bbb N|a_k>a_n,\quad \forall k>n\} \).

- Si \( A=\{n_i\} \) es un conjunto de índices infinito ordenado de manera creciente es una sucesión \( \{a_{n_i}\} \) creciente.

- Si es finito sea \( N \) su máximo. Tomamos \( n_1=N+1\not\in A \). Entonces existe \( n_2>n_1 \) tal que \( a_{n_2}\leq A_{n_1}
 \). Como \( n_2\not\in A \), existe \( n_3>n_2 \) tal que \( a_{n_3}\leq a_{n_2} \) y así sucesivamente, se construye una sucesión decreciente.

Saludos.