Autor Tema: Toda sucesión decreciente acotada inferiormente es convergente

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11 Mayo, 2022, 01:59 am
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HtN

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Sea {\( {a_n} \)}, donde \( n\in{\mathbb{N}} \), una sucesión no creciente (\( a_{n+1} \leq{ a_n} \forall{n \in{ \mathbb{N}}} \))  y acotada
inferiormente, demuestra que es convergente.

11 Mayo, 2022, 02:38 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Es conveniente muestres que has hecho por resolver el problema, de esa forma se llega a buen puerto

Si \( a_n \) esta acotada inferiomente, existe el extremo inferior L de la sucesión, de esta manera :

\( a_n\geq{L}, \ \forall{n}\in{N} \) y

\( \forall{\epsilon}>0, \ \exists{M\in{N}} \ / \ a_M<L+\epsilon\Rightarrow{a_M-L<\epsilon} \)

Por ser \( \left\{{a_n}\right\} \) decreciente se tiene que si \( n\geq{M}\Rightarrow{a_n\leq{a_M}}\Rightarrow{a_n-L\leq{a_M-L}} \)

En consecuencia :

\( \forall{\epsilon}>0, \ \exists{M\in{N}} \ / \ si \ n\geq{M}\Rightarrow{a_n-L<\epsilon}\Rightarrow{\Rightarrow{\left |{a_n-L}\right |}<\epsilon} \)

Considerando el concepto de límite de una sucesión ¿Cómo se interpreta el resultado anterior?¿Qué se puede decir de la convergencia de la sucesión?

Pregunta si deseas más aclaraciones

Saludos