[Eduen]

Por una parte:
\( \sqrt{x^2 + 3x - 2} - x = (\sqrt{x^2 + 3x - 2} - x) \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x}{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x}  \).

\( \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x} = \dfrac{3}{2}  \)

Por otro lado:
\( a-b = \dfrac{x^2-x-1}{(8x^3+x^2-x-1)^{2/3} + (8x^3+x^2-x-1)^{1/3} \cdot 2x + 4x^2} = \dfrac{x^2-x-1}{4x^2 \cdot j_1(x)  + 4x^2 \cdot j_2(x) + 4x^2} = \dfrac{x^2-x-1}{4x^2} \cdot \dfrac{1}{j_1(x) + j_2(x) + 1}   \). 

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} a-b = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-x-1}{4x^2} \cdot \dfrac{1}{j_1(x) + j_2(x) + 1}  = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}  \).
Donde \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} j_1(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} j_2(x) = 1 \)

Me anoto esa elegante forma de resumir los límites, gracias pablo

[iMaria]

Gracias, Eduen. Pero no logro completar el ejercicio con el procedimiento que yo hago.

Adjunto una foto de un ejemplo parecido a este ejercicio pero con diferentes números. A ver si pueden entenderlo y saben a qué me refiero

[Juan Pablo Sancho]

Te lo puso Eduen, pero vamos:
\( (8 x^3 + x^2-x-1)^{2/3} = (8x^3 \cdot (1 + \dfrac{1}{8x} - \dfrac{1}{8x^2} - \dfrac{1}{8x^3}))^{2/3} = 4x^2 \cdot (1 + \dfrac{1}{8x} - \dfrac{1}{8x^2} - \dfrac{1}{8x^3}))^{2/3} = 4x^2 \cdot j_1(x)  \)
Con : \( j_1(x) = 1 + \dfrac{1}{8x} - \dfrac{1}{8x^2} - \dfrac{1}{8x^3}  \). 

Pero el procedimiento que usas es el que uso yo:
Cuando pones:
\( a^3 - b^3 = (a-b) \cdot (a^2 +ab + b^2)  \) la última \( b^2 \) tu la dejas como \( b \) en ese lugar está el error.

No pongas fotos, las fórmulas se escriben con \( \LaTeX \), las fotos son para explicar un problema.

[iMaria]

Esto es lo que yo hago

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\frac{3}{2}}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^3 -2x^3} \)
——————————————————————
\( {\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^2} + 2x  . {\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+2x^2}  \)


El b^2 que tú dices que lo pongo como b, es el último + 2x^2

[Eduen]

Tu haces \( b=2x \) por tanto \( b^2 = (2x)^2 = 4x^2 \neq 2x^2 \)

[iMaria]

Tu haces \( b=2x \) por tanto \( b^2 = (2x)^2 = 4x^2 \neq 2x^2 \)

Ahora sí, era este el error que tenía desde el principio y no lo veía. Acabo de intentarlo y salió bien. Agradezco a todos los que comentaron e intentaron ayudarme.
Gracias Eduen