[iMaria]

Buenas, me pueden confirmar si la solución de este ejercicio es 30/2?
Latex  corregido por moderador
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+3x-2}-x}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}-2x} \)

[iMaria]

Pongo la solución final, para no poner todo el planteamiento

[hméndez]

Buenas, me pueden confirmar si la solución de este ejercicio es 30/2?

https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%28Sqrt%28x%5E2%2B3x-2%29-x%29%2F%28CubeRoot%288x%5E3%2Bx%5E2-x-1%29-2x%29%2C+x-%3Einfinite

Tu expresión de la segunda imagen Sí tiene limite 30/2=15 (y es claro que no es solución del primero)

Saludos.

[iMaria]

Buenas, me pueden confirmar si la solución de este ejercicio es 30/2?

https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%28Sqrt%28x%5E2%2B3x-2%29-x%29%2F%28CubeRoot%288x%5E3%2Bx%5E2-x-1%29-2x%29%2C+x-%3Einfinite

Tu expresión de la segunda imagen Sí tiene limite 30/2=15 (y es claro que no es solución del primero)

Saludos.

Buenas hméndez, la segunda imagen que adjunte es la solución del primero, es todo del mismo ejercicio y llegué a esa conclusión final, solo subí una foto del procedimiento final para no poner cómo llegué a eso. Solo quiero saber si 30/2 es la solución de ejercicio para saber si está bien hecho, gracias.

[iMaria]

Cualquier cosa intento publicar todo el procedimiento para que entiendan cómo llegué a ese resultado y me puedan corregir.
Lo que usé fue esto y hechas las cuentas llegué al resultado de la otra imagen.

a es todo el término de la raíz cuadrada

b es el término -2x

[feriva]

la segunda imagen que adjunte es la solución del primero, es todo del mismo ejercicio y llegué a esa conclusión final

Perdón, esto no tiene que ver, me he equivocado

Spoiler

No está bien; dale a x el valor 2, por ejemplo, ahí ya se pasa de 30/2.

[cerrar]

Saludos.

[iMaria]

Esto fue lo que hice, no entiendo como el resultado puede ser 18.

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+3x-2}-x}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}-2x} \)


\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\frac{3}{2}}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}-2x} \)


\( a^3- b^3 = (a-b) (a^2 + ab + b^2) \longrightarrow{}
(a-b) = \displaystyle\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \)


\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\frac{3}{2}}{a - b} \)


\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\frac{3}{2}}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^3 -2x^3} \)
——————————————————————
\( {\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^2} + 2x  . {\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+2x^2}  \)

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{30x^2}{2x^2-2x+10} = \displaystyle\frac{30x^2}{2x^2} = \displaystyle\frac{30}{2} \)

[Juan Pablo Sancho]

Por una parte:
\( \sqrt{x^2 + 3x - 2} - x = (\sqrt{x^2 + 3x - 2} - x) \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x}{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x}  \).

\( \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2 + 3x - 2} + x} = \dfrac{3}{2}  \)

Por otro lado:
\( a-b = \dfrac{x^2-x-1}{(8x^3+x^2-x-1)^{2/3} + (8x^3+x^2-x-1)^{1/3} \cdot 2x + 4x^2} = \dfrac{x^2-x-1}{4x^2 \cdot j_1(x)  + 4x^2 \cdot j_2(x) + 4x^2} = \dfrac{x^2-x-1}{4x^2} \cdot \dfrac{1}{j_1(x) + j_2(x) + 1}   \). 

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} a-b = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-x-1}{4x^2} \cdot \dfrac{1}{j_1(x) + j_2(x) + 1}  = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}  \).
Donde \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} j_1(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} j_2(x) = 1 \)

[iMaria]

Buenas Juan. Entiendo la primera parte, por eso en mi solución me salté todo eso y puse directamente \( \displaystyle\frac{3}{2}  \)porque ya lo había hecho anteriormente.
Después, lo qué haces no lo entiendo porque no tengo tales conocimientos como lo de j(x).

Como yo lo tengo planteado está bien, donde le erro es a la hora de operar que me dan mal los resultados


\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\frac{3}{2}}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^3 -2x^3} \)
——————————————————————
\( {\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^2} + 2x  . {\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+2x^2}  \)


Lo que hago básicamente es,

\( \displaystyle{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}^2 \)

Es equivalente a 2x, multiplico ese 2x por el 2x que tengo y me queda 4x^2, hago lo mismo con la otra raíz, lo cual me queda 4x^2, los sumo y me da 8x^2 y a este le sumo el 2x^2 que me quedaba al final de la operación, que me da 10x^2.
Arriba lo que hago es multiplicar el 3 por el 10x^2 y el 2 lo múltiplo por la expresión de abajo y como resultado me da 2x^2 - 2x +10


Ojo, yo no digo que me resultado esté mal, solo que más arriba me pasaron este link y el resultado dice 18


https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%28Sqrt%28x%5E2%2B3x-2%29-x%29%2F%28CubeRoot%288x%5E3%2Bx%5E2-x-1%29-2x%29%2C+x-%3Einfinite

[Eduen]

Perdona, traté de seguir tu procedimiento, pero no lo comprendo. En su lugar, te recomiendo primero eliminar
las indeterminades \( \infty - \infty \).

\(
\begin{matrix}
L &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+3x-2}-x}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}-2x} \\[1cm]
&=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+3x-2}-x}{\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}-2x} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{x^2+3x-2}+x}{\sqrt{x^2+3x-2}+x}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt[3]{(8x^3+x^2-x-1)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+(2x)^2}{\sqrt[3]{(8x^3+x^2-x-1)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+(2x)^2}\right) \\[1cm]
&=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(\dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2+3x-2}+x}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt[3]{(8x^3+x^2-x-1)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+4x^2}{x^2-x-1}\right)\\[1cm]
&=&\left( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2+3x-2}+x}\right) \cdot \left( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{(8x^3+x^2-x-1)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+4x^2}{x^2-x-1}\right)
\end{matrix}

 \)


Ahora puedes calcular los límites por separado, el primero ya lo has hecho, así que solo haré el segundo


\(
\begin{matrix}
L_2 &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{(8x^3+x^2-x-1)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+4x^2}{x^2-x-1} \\[1cm]
&=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{(8x^3+x^2-x-1)^2}+2x\sqrt[3]{8x^3+x^2-x-1}+4x^2}{x^2}}{\dfrac{x^2-x-1}{x^2}} \\[1cm]
&=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{\left(8+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)^2}+2\sqrt[3]{\left(8+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)}+4}{1-\frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}\\[1cm]
&=& \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sqrt[3]{\left(8+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)^2}+\displaystyle 2\lim_{x \to +\infty}\sqrt[3]{\left(8+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)}+\displaystyle \lim_{x \to +\infty}4}{\displaystyle \lim_{x \to +\infty}1-\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x} -\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^2}} \\[1cm]
&=& \dfrac{4+2\cdot2 + 4}{1 - 0 - 0}\\[1cm]
L_2 &=& 12
\end{matrix}
 \)

Finalmente,
\(
L = L_1 \cdot L_2 = \dfrac{3}{2}\cdot 12 = 18
 \)