Autor Tema: Hallar \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x}\)

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03 Mayo, 2022, 03:30 am
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m.cabreramunoz

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\( \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x} \)

Me ayudarían a resolver este límite, sin L´Hopital por favor.

Mensaje corregido desde la administración.

03 Mayo, 2022, 03:40 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\displaystyle\lim_{x \to{+}\0}{\displaystyle\frac{\sqrt[2]{1+sin(2x)-\sqrt[2]{1-sin(3x}}}{x}}

Ese límite no tiene sentido; la variable \( x \) primero tiende a \( +\infty \) y luego a \( 0^+ \). Revisa lo que escribiste.

Saludos

03 Mayo, 2022, 03:52 am
Respuesta #2

m.cabreramunoz

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Hola

\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\displaystyle\lim_{x \to{+}\0}{\displaystyle\frac{\sqrt[2]{1+sin(2x)-\sqrt[2]{1-sin(3x}}}{x}}

Ese límite no tiene sentido; la variable \( x \) primero tiende a \( +\infty \) y luego a \( 0^+ \). Revisa lo que escribiste.

Saludos

Hola, quizas lo escribi mal, mandare una foto mejor pq aun nose muy bien como escribir las formulas bien en esta pagina.

Saludos

03 Mayo, 2022, 04:49 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Hola, quizás lo escribí mal, mandaré una foto mejor pq porque aun nose no sé muy bien cómo escribir las fórmulas bien en esta página.

Spoiler
El límite que te proponen es: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(2x)}}{x} \].

Probemos racionalizar el numerador:

\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(2x)}}{x}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)}}{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)}}&=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+\sin(2x)})^2-(\sqrt{1-\sin(2x)})^2}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1+\sin(2x)-1+\sin(2x)}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{\color{red}2\cdot\color{black}2\cdot\sin(2x)}{\color{red}2\cdot\color{black}x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
&=4\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
\end{align*}

Como \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1 \] y \[ \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \] entonces:

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(2x)}}{x}=4\cdot1\cdot\frac12=\boxed{2}. \]
[cerrar]

Saludos

P.D. Por favor cuida la ortografía.

ESTÁ MAL. Revisar Respuesta #5.

03 Mayo, 2022, 03:50 pm
Respuesta #4

m.cabreramunoz

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Hola

Hola, quizás lo escribí mal, mandaré una foto mejor pq porque aun nose no sé muy bien cómo escribir las fórmulas bien en esta página.

El límite que te proponen es: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(2x)}}{x} \].

Probemos racionalizar el numerador:

\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(2x)}}{x}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)}}{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)}}&=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+\sin(2x)})^2-(\sqrt{1-\sin(2x)})^2}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1+\sin(2x)-1+\sin(2x)}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{\color{red}2\cdot\color{black}2\cdot\sin(2x)}{\color{red}2\cdot\color{black}x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
&=4\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)})}\\\\
\end{align*}

Como \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1 \] y \[ \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(2x)}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \] entonces:

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(2x)}}{x}=4\cdot1\cdot\frac12=\boxed{2}. \]

Saludos

P.D. Por favor cuida la ortografía.

Gracias amigo, pero una sola cosa, la segunda raíz del ejercicio de vez de sen(2x), es sen(3x).

Gracias de antemano

03 Mayo, 2022, 04:21 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Gracias amigo, pero una sola cosa, la segunda raíz del ejercicio de vez de sen(2x), es sen(3x).

Tienes razón, no leí bien. Quedaría: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x} \].

Procedemos como antes, racionalizando el numerador:

\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)}}{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)}}&=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+\sin(2x)})^2-(\sqrt{1-\sin(3x)})^2}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1+\sin(2x)-1+\sin(3x)}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)+\sin(2x)}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}.
\end{align*}

Recordando la siguiente propiedad: \[ \sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \] resulta que: \[ \sin(3x)+\sin(2x)=2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \]. Entonces:

\[
\lim_{x\to0}\frac{\color{red}\frac52\cdot\color{black}2\sin(\frac{5x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{\color{red}\frac52\cdot\color{black}x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}=5\lim_{x\to0}\frac{\sin(\frac{5x}{2})}{\frac52x}\frac{\cos(\frac{x}{2})}{(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}.
 \]

De nuevo tenemos que \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\frac52x\right)}{\frac52x}=1 \] y \[ \lim_{x\to0}\frac{\cos(\frac{x}{2})}{(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}=\frac{1}{1+1}=\frac12 \] y por lo tanto:

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x}=5\cdot1\cdot\frac12=\boxed{\frac52}. \]

Saludos

07 Mayo, 2022, 04:55 am
Respuesta #6

m.cabreramunoz

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Hola

Gracias amigo, pero una sola cosa, la segunda raíz del ejercicio de vez de sen(2x), es sen(3x).

Tienes razón, no leí bien. Quedaría: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x} \].

Procedemos como antes, racionalizando el numerador:

\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)}}{\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)}}&=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+\sin(2x)})^2-(\sqrt{1-\sin(3x)})^2}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1+\sin(2x)-1+\sin(3x)}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}\\\\
&=\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)+\sin(2x)}{x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}.
\end{align*}

Recordando la siguiente propiedad: \[ \sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \] resulta que: \[ \sin(3x)+\sin(2x)=2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \]. Entonces:

\[
\lim_{x\to0}\frac{\color{red}\frac52\cdot\color{black}2\sin(\frac{5x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{\color{red}\frac52\cdot\color{black}x(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}=5\lim_{x\to0}\frac{\sin(\frac{5x}{2})}{\frac52x}\frac{\cos(\frac{x}{2})}{(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}.
 \]

De nuevo tenemos que \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\frac52x\right)}{\frac52x}=1 \] y \[ \lim_{x\to0}\frac{\cos(\frac{x}{2})}{(\sqrt{1+\sin(2x)}+\sqrt{1-\sin(3x)})}=\frac{1}{1+1}=\frac12 \] y por lo tanto:

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}-\sqrt{1-\sin(3x)}}{x}=5\cdot1\cdot\frac12=\boxed{\frac52}. \]

Saludos

Muchas gracias amigo. Todo muy claro.

08 Mayo, 2022, 08:04 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Sea \( f(x) = \sqrt{1+\sen(2x)}  \) y \( g(x) = \sqrt{1-\sen(3x)} \) tenemos:
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{(f(x)-f(0)) -(g(x)-g(0))}{x} = f'(0) - g'(0)  \)