[carlosbayona]

Este es el otro ejercicio compañeros:

Hallar la serie de Taylor centrada en
\(   z_0= 0  \) de la función

\(  f \ (z) = sin \ (z^2)  \)

[Fernando Revilla]

Este es el otro ejercicio compañeros: Hallar la serie de Taylor centrada en \(   z_0= 0  \) de la función \(  f \ (z) = sin \ (z^2)  \)

Simplemente, sustituyendo \( z \) por \( z^2 \) en el conocido desarrollo \( \sin z=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad\left(\forall z\in\mathbb{C}\right) \) queda

        \( f(z)=\sin z^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n(z^2)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nz^{4n+2}}{(2n+1)!}\quad\left(\forall z\in\mathbb{C}\right). \)

[carlosbayona]

Amigo Fernando gracias por responder, ¿el ejercicio ya no se puede desarrollar más? ¿Solo queda hasta allí?

[geómetracat]

Se pide hallar la serie de Taylor de una función, y en su respuesta Fernando llega a la serie de Taylor de la función. ¿Qué más quieres desarrollar?

[carlosbayona]

Pero, ¿está centrado en \(  z_0 \)? Explíquenme esto por favor amigos.

[geómetracat]

Está centrada en \[ 0 \], como te pedían... Si estuviera centrada en un punto \[ z_0 \] tendrías potencias de la forma \[ (z-z_0)^n \].