[carlosbayona]

Saludos. Vengo en busca de ayuda con estos ejercicios. No he logrado resolverlos y sinceramente necesito de sus conocimientos. Ayúdenme a resolverlos compañeros.
Calcular usando residuos la integral  de la función siguiente sobre el círculo \(  z= 3  \) positivamente orientado
\(  f \ (z) = \dfrac{e^{-z}}{z^2} \)

[Fernando Revilla]

Saludos. Vengo en busca de ayuda con estos ejercicios. No he logrado resolverlos y sinceramente necesito de sus conocimientos. Ayúdenme a resolverlos compañeros. Calcular usando residuos la integral  de la función siguiente sobre el círculo \(  z= 3  \) positivamente orientado  \(  f \ (z) = \dfrac{e^{-z}}{z^2} \)

El único punto singular de \( f \) en \( \left |{z}\right |\le 3 \) es \( z=0 \) (polo doble) y su residuo es por tanto

        \( \operatorname{Res}_{z=0}f(z)=\displaystyle\lim_{z \to 0}\displaystyle\frac{1}{(2-1)!}\left(\displaystyle\frac{e^{-z}z^2}{z^2}\right)^\prime=\displaystyle\lim_{z \to 0}-e^{-z}=-1 \).

En consecuencia, \( \displaystyle\int_{|z=3|}f(z)=2\pi i\operatorname{Res}_{z=0}f(z)=-2\pi i. \)

Nota. También puedes aplicar https://fernandorevilla.es/2014/11/27/formulas-integrales-de-cauchy/