Autor Tema: Cómo Demostrar la siguiente propiedad

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22 Marzo, 2022, 05:58 pm
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Macssolano

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Dados \( a,b\in M \), suponga que existe un subconjunto \( X \) abierto y cerrado tal que \( a\in X \) y \( b\not\in X. \) Entonces ningún subconjunto conexo de \( M \) puede contener a \( a \) y \( b \) simultáneamente.

Mensaje corregido desde la administración.

22 Marzo, 2022, 10:16 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Ten en cuenta que \[ X \] y \[ X^c \] son abiertos no vacíos (uno contiene a \[ a \] y el otro a \[ b \]), disjuntos y cuya unión es \[ M \], de manera que cualquier subconjunto \[ S\subseteq{M} \] que contenga a \[ a \] y \[ b \] admite la separación \[ S\cap{X}, S\cap{X^c} \].

Un saludo.

23 Marzo, 2022, 12:00 am
Respuesta #2

Macssolano

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Me hicieras un gran favor si lo pudieras desarrollar , la verdad estoy súper confuso con el tema y no encuentro buena información en la web , y de antemano muchas gracias.

23 Marzo, 2022, 11:10 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Estaría bien que aportaras algo de contexto al problema y que dijeras qué paso es exactamente el que necesitas que detallemos más.

Ten en cuenta que \[ X \] y \[ X^c \] son abiertos

\[ X \] es abierto porque lo dice el enunciado. También dice que es cerrado, luego \[ X^c \] es abierto porque es el complementario de un cerrado.

no vacíos (uno contiene a \[ a \] y el otro a \[ b \]),

El enunciado dice que \[ a\in{X} \]. También que \[ b\not\in{X}  \]. De aquí que \[ b\in{X^c} \].

disjuntos

Un conjunto es disjunto de su complementario por definición de complementario.

y cuya unión es \[ M \],

Esto también es por definición de complementario.

de manera que cualquier subconjunto \[ S\subseteq{M} \] que contenga a \[ a \] y \[ b \] admite la separación \[ S\cap{X}, S\cap{X^c} \].

Un conjunto \[ S \] se dice que no es conexo si existen dos abiertos disjuntos \[ U, V \] tales que \[ S=U\cup{V} \].

En nuestro caso \[ S\cap{X}, S\cap{X^c} \] son abiertos en \[ S \] (en la topología de subespacio heredada) por ser intersección de \[ S \] con abiertos de \[ M \].

El hecho de que \[ M=X\cup{X^c} \] garantiza que cualquier \[ S\subseteq{M} \] es la unión de los dos abiertos indicados.

Un saludo.

25 Marzo, 2022, 04:46 am
Respuesta #4

Macssolano

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