[Pamfs]

Hola, ¿Cómo están? Necesito ayuda para aclarar este ejercicio.
Me piden hallar el mayor valor de c de:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle(\frac{cx^{c-1}+2x^{c}}{\sqrt{3x^{2}+1}})} \)
pero las condiciones son que este debe ser infinito.
Para que el lim sea infinito el \( GradoNumerador>GradoDenominador.  \)
Comencé racionalizando el denominador,
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle(\frac{cx^{c-1}+2x^{c}}{3x^{2}+1}\cdot{\sqrt{3x^{2}+1}})} \)
dividí y me quedo así:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(\displaystyle(\frac{2x^{c-2}}{3}+\frac{3cx^{c-1}-2x^{c-2}}{3(3x^{2}+1)})\cdot{\sqrt{3x^{2}+1}})} \)

¿Qué mas podría hacer para calcular el valor de \( c \)? Me perdí por completo en este ejercicio.

[Abdulai]

\( \dfrac{cx^{c-1}+2x^{c}}{\sqrt{3x^{2}+1}}
= x^{c-1} \dfrac{c+2x}{x\displaystyle\sqrt{3+1/x^2}}
= x^{c-1} \dfrac{c/x+2}{\displaystyle\sqrt{3+1/x^2}}  \)
Luego debe ser \( c>1 \)

[Pamfs]

\( \dfrac{cx^{c-1}+2x^{c}}{\sqrt{3x^{2}+1}}
= x^{c-1} \dfrac{c+2x}{x\displaystyle\sqrt{3+1/x^2}}
= x^{c-1} \dfrac{c/x+2}{\displaystyle\sqrt{3+1/x^2}}  \)
Luego debe ser \( c>1 \)

Muchas gracias por su ayuda, pero no logro entender por qué sale \( \dfrac{c}{x+2} \) en el numerador. Agradecería mucho si me explicase más a fondo. Gracias de antemano.

[Juan Pablo Sancho]

Pero en el numerador puso \( c/x + 2  \) no \(  c/(x+2) \) lo saca de:
\( \displaystyle \dfrac{c+2x}{x \cdot \sqrt{3+\frac{1}{x^2}}} = \dfrac{\frac{c}{x}+\frac{2x}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}  \)

[Pamfs]

Pero en el numerador puso \( c/x + 2  \) no \(  c/(x+2) \) lo saca de:
\( \displaystyle \dfrac{c+2x}{x \cdot \sqrt{3+\frac{1}{x^2}}} = \dfrac{\frac{c}{x}+\frac{2x}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}  \)

Con razón no me cuadraba, mi error de interpretación. Gracias por la aclaración. 😅