[Nelson Domínguez S.]

 Buenas tardes,

Me encuentro repasando para un examen y no soy capaz de calcular este límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x) = {\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1}\over \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 4}}} \)

He probado multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador, y por el del denominador, pero los resultados no coinciden. También he intentado dividir cada término por la incógnita de mayor grado, pero siento que esa tampoco es la solución.

¿Cómo debería proceder?

Un saludo.

[mathtruco]

Hola Nelson Domínguez S., bienvenido al foro.

Tus ideas están bien, sólo debes aplicarlas todas.

1. Multiplica por

    \( \dfrac{\sqrt{x+2}\textcolor{blue}{+}\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}\textcolor{blue}{+}\sqrt{x-4}} \)

Al hacer las cuentas desaparecen las \( x \) de denominador.

2. Multiplica por

    \( \dfrac{\sqrt{x+3}\textcolor{blue}{+}\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}\textcolor{blue}{+}\sqrt{x-1}} \)

3. Ahora lo trabajas como un típico límite con \( x \) tendiendo a infinito.


No escribí detalles porque me parece que ya tienes cada punto claro, pero trata de hacer las cuentas y si hay dudas pregunta y escribo los detalles.

mensaje original

Buenas tardes,

Me encuentro repasando para un examen y no soy capaz de calcular este límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x) = {\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1}\over \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 4}}} \)

He probado multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador, y por el del denominador, pero los resultados no coinciden. También he intentado dividir cada término por la incógnita de mayor grado, pero siento que esa tampoco es la solución.

¿Cómo debería proceder?

Un saludo.

[cerrar]

[Nelson Domínguez S.]

Gracias por la respuesta. Sin embargo, me surge otra duda después de ponerla en práctica:

¿No sería suficiente con realizar únicamente el primer paso? Si desaparecen las \( x \) del denominador, al sustituir por infinito el resultado sería \( ∞ \over 6 \).

[geómetracat]

Gracias por la respuesta. Sin embargo, me surge otra duda después de ponerla en práctica:

¿No sería suficiente con realizar únicamente el primer paso? Si desaparecen las \( x \) del denominador, al sustituir por infinito el resultado sería \( ∞ \over 6 \).

No. Si haces el primer paso te queda:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-4})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})}{6} \].
Pero si te fijas en el numerador, tienes que \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}+\sqrt{x-4} = +\infty \] mientras que \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} = 0 \], por lo que te queda una indeterminación de tipo \[ 0 \cdot \infty \] en el numerador. Y de hecho, el numerador no tiende a infinito como dices, sino que tiende a \[ 4 \].