Autor Tema: Solución de un EDP

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22 Diciembre, 2021, 09:46 pm
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mg

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Hola,

Acabo de comenzar con un tema introductorio a las EDPs y me dicen lo siguiente:

"Sea la EDP:

\( \partial_1u+\partial_2u=0 \)

Se comprueba fácilmente que  la función dada por \( u(x_1,x_2)=\phi(x_1-x_2) \) es solución da la EDP"

Sin embargo no soy capaz de comprobarlo. No lo veo. Es decir \( \partial_1 (\phi(x_1-x_2)) =\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1}\cdot{\displaystyle\frac{\partial (x_1-x_2)}{\partial x_1}}=\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1}\cdot{}1=\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1} \) y de la misma forma \( \displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_2}=-\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_2} \)...
Entonces se cumpliría la ecuación si y solo si \( \displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1}=\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_2} \) que no tiene por qué, ¿no?

Un saludo.

22 Diciembre, 2021, 10:20 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Es que la derivación parcial es incorrecta, se ha de considerar \( u(x_1,x_2)=\phi(h(x_1,x_2)) \) donde \( h(x_1,x_2)=(x_1-x_2) \) es decir como la composición de dos funciones, \( \phi \) función de variable real y h campo escalar de dos variables, en ese caso :

\( \frac{{\partial u}}{{\partial x_1}}=\frac{d\phi}{dh}\frac{{\partial h}}{{\partial x_1}} \)

Verifica la otra derivada parcial y suma


Saludos

23 Diciembre, 2021, 02:31 am
Respuesta #2

mg

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Es cierto. Gracias por la ayuda.