Yo creo entender la contradicción que demuetra RDC. Pero esta contradicción nos puede decir dos cosas: que la existencia del conjunto \( \mathbb{N} \) es contradictoria o que la definición de tamaño, tal como la propone RDC, es contradictoria, al ser aplicada en \( \mathbb{N} \). ¿Qué hemos, pues, de rechazar? En vista que la existencia de \( \mathbb{N} \) es un axioma, siguiendo los principios de la lógica clásica, es esta noción de tamaño defininida en el post que abre el hilo la que se debe rechazar porque no se aplica en general a todos los conjuntos. Como lo veo, es análogo a la gran intersección, cuando no se aceptan las clases propias: se debe rechazar que la gran intersección esta definida para el conjunto vacío. Así pues, tal definición de tamaño particular solo se puede aplicar a ciertos subconjuntos de \( \mathbb{N} \).

Buscando cómo introducir los números complejos "sin apelar" a los números reales (por curiosidad, ya que por supuesto no es necesario, dada la facilidad de la construcción por pares ordenados) encontré el artículo Axioms for Complex Numbers por D. H. Potts, en The American Mathematical Monthly, Vol. 70, No. 9 (Nov., 1963), pp. 974-975. https://doi.org/10.2307/2313057Allí se caracteriza un sistema \( (K,+,\cdot{},\bar{}) \) tal que:

• \( (K,+,\cdot{}) \) es un campo y \( \bar{} \) es un endomorfismo involutivo de \( K \) compatible con las operaciones.
• Además tal endomorfismo cumple que para todos los \( z, w \) en \( K \) no nulos, existe \( \eta \), no nulo también, tal que \( z\bar{z}+w\bar{w}=\eta\bar{\eta} \)
• Si \( z=\bar{z} \), existe \( w \) con \( z^2=(w\bar{w})^{2} \)
• Definiendo \( R=\left\{x \, : \, x=\bar{x}\right\} \) y  \( R^{+}=\left\{x \, : \, \exists{y}\,(y\not=0) \wedge  (x=y\bar{y})\right\} \) se estipula una propiedad equivalente a la completitud topologica de \( \mathbb{R} \) para \( R \) pero sin apelar al orden debida a Veblen, subconjuntos que además permiten definir una relación de orden total en \( R \).
• Finalmente, se exige que \( K=\left\{x^{2} \, : \, x\in{K}\right\} \)

El resto del artículo procede a probar que \( R \) así definido es un subcampo de \( K \), que en efecto se puede definir la relación de orden y que es posible la descomposición de todo elemento de \( K \) en una suma de "parte real" y el producto de \( \mathrm{i} \) (definición usual pero en \( K \)) con la "parte imaginaria". Entiendo que la segunda y tercera caracteristicas "esconden" una apelación a los números reales, y que sin la quinta caracteristica se obtiene esencialmente un campo como \( \mathbb{R} \). ¿Estoy en lo correcto al afirmar esta última exigencia equivale a que todos los \( z \) en \( K \) tienen raíz cuadrada? ¿No se puede debilitar esta última caracteristica para solo garantizar la unidad imaginaria, sin afectar la suficiencia de la caracterización? ¿Qué les parece esta caracterización? ¿Tendrá algún reparo?

Sea un conjunto no vacío \( A \) y una función \( f:{A\to{A}} \).

Se define que el par \( \left(A,f\right) \) es una estructura de Peano cuando: \( f \) es inyectiva, no es sobreyectiva, el rango \( f{\left[A\right]}\subseteq{A} \) y, para todo \( B\subseteq{A} \), si \( \exists{x}\in{A\setminus{f{\left[A\right]}}} \) tal que \( x\in{B} \) y \( f{\left[B\right]}\subseteq{B} \), entonces \( A\subseteq{B} \).

Ahora bien, la duda está en si tiene sentido definir: que el par \( \left(A,f\right) \) es una "estructura recursiva" cuando \( \exists{e}\in{A} \) tal que \( A\setminus{ f{\left[ A \right] } }={\left\{ e\right\} } \) y, dado \( X \) no vacío, \( \forall{b}\in{X},\forall{g}:{X\to{X}},\exists! h:{A\to{X}} \) tal que \( h{ \left( e\right) }={b} \) y \( h\circ{f}=g\circ{h} \).

Está claro, por el teorema de recursión, que toda estructura de Peano es "estructura recursiva". Ahora bien, mi pregunta es acerca del reciproco de la anterior afirmación (lo que daría sentido a la definición tentativa) ¿Es suficiente tener una estructura recursiva para que se trate de estructura de Peano, habría que agregar alguna hipótesis, o bien, no tiene mucho sentido preguntarse esto?

Gracias, como siempre. No solo gratitud, también admiración.

Para entrar en contexto. Entiendo que cuando se estudia teoría de números y se presentan los axiomas de Peano, puede hacerse la presentación más «amigable», si en vez de que la única operación primitiva sea la de sucesor y la única constante \( 0 \), se incluyen la constante \( 1 \) y la adición y el producto como operaciones primitivas, y algunos axiomas más que sacrifican la independencia por claridad.

Ahora bien, hablando en el contexto del lenguaje de primer orden, es estándar presentar los axiomas de Zermelo con la menor cantidad de conceptos primitivos y escribir todos los axiomas sin necesidad de alguna constante, ni operación primitiva, solo el predicado de pertenecia, lo cual tecnicamente se escribe «la signatura del lenguaje de primer orden ZF consta de apenas un relator» o «la signatura del lenguaje de primer orden ZF es \( \left\{ \in \right\} \)». Entiendo que este estándar, la economía de conceptos primitivos y la lista fija de axiomas, tiene el propósito de facilitar los estudios metalógicos y poder probar cosas acerca de la teoría.

¿Qué tal si el objetivo es probar cosas dentro de la teoría? Porque si el propósito es este último, y se observa los libros de texto de matemáticas, pareciera que de hecho cada definición de un nuevo predicado/operación/conjunto parece agregar un relator/funtor/constante a la signatura y un nuevo axioma en forma de bicondicional para con este axioma «definir» el nuevo relator/funtor/constante usando solo los conceptos primitivos previos y sin preocuparse por probar que las «extensiones conservativas son en efecto estrictamente conservativas» o demás requerimientos similares para la teoría.

Mi pregunta es, entonces, ¿qué precauciones tener? si se decide usar una alternativa a Z o ZF que no es NBG, ni Morse-Kelley, sino cómo algo como:

0. Axioma de extensionalidad codificado por '\( \forall u \, \forall v \left( \left( \forall w \left( w \in u \leftrightarrow w \in v \right) \right) \rightarrow u=v \right) \)' (nada nuevo, a no ser que se incluya un axioma antes para definir el predicado es subconjunto de con el respectivo relator en la asignatura, y expresar este axioma usando la amigable doble contención).

1. Axioma del conjunto vacío codificado por '\( \forall u \left( u \not \in \varnothing \right)  \)', para la constante '\( \varnothing \)' en la signatura.

2. Axioma del singulete codificado por '\( \forall u \, \forall v \left( v \in Su \leftrightarrow v = u \right) \)'.

3. Axioma del par desordenado codificado por '\( \forall u \, \forall v \left( \forall w \left( w \in \left\{ u,v \right\} \leftrightarrow w = u \lor w = v \right)  \right) \)'.

4. Axioma de la unión codificado por '\( \forall u \, \forall v \left( v \in \bigcup{u} \leftrightarrow \exists B \left( B \in u \land v \in B \right)\right) \)'.

5. Axioma de partes codificado por '\( \forall u \, \forall v \left( v \in \mathcal{P}{u} \leftrightarrow \forall w \left( w \in v \rightarrow w \in u \right)\right) \)'.

6. Axioma del infinito de Zermelo codificado por '\( \exists B \left( \varnothing \in B \land \forall u \left( u \in B \rightarrow Su \in B \right) \right) \)'.

Donde '\( S \)', '\( \bigcup \)', '\( \mathcal{P} \)' son desde un principio funtores en la signatura, y hay un funtor diádico que funciona también en el estilo de los prefijos para el par ordenado, pero que por comodidad se presenta en la notación de llaves separando sendos términos por una coma.

7. Esquema axiomático de separación: cada instancia de '\( \forall u \, \forall v \left( v \in \left\{x \in u : \varphi \right\} \leftrightarrow \left(v \in u \land \varphi\right)\right) \)', agregando cada vez a la signatura algo que represente a '\( \left\{x \in u : \varphi \right\} \)' .

8. La arimetización del análisis incluyendo la terminología de funciones y relaciones, agregando los axiomas y relatores/funtores/constantes necesarios para usar estas definiciones y 9. el axioma de elección expresado en términos de funciones, como de todas maneras se ha usado.

Entiendo que antes de agregar un funtor o constante nueva a la signatura es necesario hacer una prueba de unicidad. Pero ¿qué pasa con '\( \varnothing \)', '\( S \)', '\( \bigcup \)' cuando ya están en los axiomas? Por supuesto, no sé sí las formulas están bien escritas y no tengo algún referente por la mencionada usanza en la literatura de lógica matemática de solo tomar la pertenecia como concepto primitivo.

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El propósito que tengo en mente es utilizar el lenguaje de primer orden para escribir las pruebas y deducciones dentro de esta teoría (que, según la practica cotidiana, además de percibir personalmente qué está puesto en práctica lo que pregunto acerca de axiomas y conceptos primitivos, se incluyen también muchas reglas de inferencia). En este sentido, creo que se puede implementar el formalismo desde temprano, con la promesa de un curso tradicional de lógica de últimos años de pregrado dónde de todas maneras se justificaba todos los metateoremas, extensiones conservativas, validez de reglas de inferencia, etc. que uno pudo necesitar en los primeros años.

¿Tal vez conocen alguna referencia dónde el autor no sea timido en usar más conceptos primitivos para expresar los axiomas de la teoría de conjuntos? Por supuesto en esta última pregunta me refiero al lenguaje de primer orden, pues ya sé que los axiomas de esta teoría se escriben con mucha frecuencia en el lenguaje natural.

¿Podrías indicar algún axioma matemático prescrito por la RAE?

Por supuesto que no. Así nunca funcionaría un razonamiento por analogía. ¿Dices que los razonamientos por analogía no son sólidos? Por hacer tambíen una pregunta que no viene al caso.

No me interesa el debate respecto a la RAE, me interesa más qué podría enseñarme esta analogía respecto a las matemáticas. Si acaso, a pesar de todas las diferencias entre el fenómeno lingüístico y el fenómeno matemático, pueda encontrar algunos puntos comunes ilustradores. Por ejemplo, quizás la abstracción de «norma lingüística» y su relación con la norma prescriptiva (como el caso de la RAE) puede enseñarme algo sobre cuando prescribimos axiomas en la investigación matemática o cuando estos se nos presentan como si fueran emergentes.

¿El uso de @? Supongo que creo en la distinción entre español formal e informal, pero no soy capaz de determinar los criterios que discriminan entre un contexto formal y otro informal (¿cuál es este foro? ¿por qué?). Yo por ejemplo nunca uso el término cotidiano "existe" para no asumir la ontología de nadie, así como otros prefieren no asumir el género: me reservo el derecho de emplear \( \exists{} \) en el español informal.
Valga aclarar que no estoy hablando en serio del todo.

Supongamos un conjunto de naturales que, en este caso específico, no admite el cero. Tengamos además la licencia de haber identificado la copia de lo naturales embebida entre los racionales positivos, y llamemos a esta \( \mathbb{N} \). Obtenemos la, en otros casos falsa, inclusión \( \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}^{+} \).
Sea \( g:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+} \) y sean \( n\in\mathbb{N} \), \( \mathcal{1}\in\mathbb{R}^{+} \), tal que \( g|_{\mathbb{N}}(n)=\underbrace{\mathcal{1}+\mathcal{1}+\cdots+\mathcal{1}}_ {n\quad\rm veces} \); extendiendo adecuadamente a las fracciones para obtener todo \( g \).

Claramente \( g \) es inyectiva (creo haber visto un ejercicio que indirectamente muestra parte de esta inyectividad en el Epílogo del Cálculo de Spivak) por lo que existe su inversa a izquierda, una función que toma las copias de los racionales encontradas entre los reales positivos y nos devuelve el número racional propiamente hablando. ¿Qué se puede decir del valor de esta función en el caso de tomar un número irracional como argumento? Por definición ha de ser un valor racional, pero no se me ocurre mucho más. No estoy seguro en primer lugar por qué me hago esta pregunta, y que querer justificarme esta pregunta, sea, pues, también parte de mi consulta a ustedes.

Estimada comunidad.

Este es mi primer mensaje en el foro. Mi segundo nombré es Jesús. Mis intereses son la física, las matemáticas y la filosofía, en ese orden. Hace un par de años vengo estudiando el pregrado en física, aunque en mi opinión sin mucho éxito.

¿Por qué tengo esta opinión negativa? No se debe a la falta de aptitudes para los conceptos científicos, ni de alguna inconformidad precisa con los planes de estudios o metodologías de evaluación. Se trata más bien de mi actitud, en cierto modo reacia a avanzar. Por ejemplo, ¿es descabellado querer entender las matemáticas antes de aplicarlas? Me refiero a que estoy a gusto con los conceptos de la física, pero en el momento en que un concepto matemático entra en juego, me incomoda sobremanera usar un teorema sin haberlo demostrado.

Expongo un caso sencillo: por supuesto he visto los cursos de calculo de una y varias variables. Eso fue ya hace mucho tiempo y por razones personales no adelanté más niveles. Ahora, para el próximo semestre académico retomaré y tendré que cursar cálculo en una variable compleja. Luego allí será básica la famosa formula de Euler, \( e^{i\theta}=\cos\theta+i\sen\theta \). ¡No estoy conforme con usarla como una definición! Sin embargo, bien podría contentarme con el esbozo de demostración que consiste en reagrupar los términos de la serie de potencias ¡pero me intranquiliza saber que esa no es una demostración rigurosa!

Evidentemente no es estándar aquella postura de exigir el mismo nivel de matemáticas para formarse en física que para formarse en ciencias matemáticas exclusivamente. Entiendo las razones, en especial que el tiempo es limitante. Pero por alguna razón uno puede llegar a desarrollar, digamos, ese gusto, y dejarle coger ventaja a la idea hasta que uno ya no quiere postergar el problema y plantearse un reset, haciendo las cosas bien desde un principio. Reconozco que ese cambio desde una actitud más bien acrítica con la ciencia, hacia una sed por fundamentos y rigurosidad no se da de la noche a la mañana. Una de las semillas tuvo que ser el encuentro con el infame libro de álgebra lineal de Sheldon Axler, al que corresponde nivel de madurez matemática con el que me he familiarizado después de haber retomado ese curso un par de veces. Otra semilla tiene que ser las inquietudes filosóficas, siempre innecesarias, pero que en mi opinión le han dado sabor y complejidad a mi vivir.

Entonces, ¿qué he hecho para enfrentar este problema? Mis esfuerzos me han parecido vanos, pero por contextualizar pues diré que intenté tomar como punto de partida unos axiomas y ver si estas ideas me convencían. Adjunto un par de documentos que he escrito para mí mismo, ilustrando como trato de acomodarme a ese punto de partida. Los axiomas en cuestión son aquellos de \( \mathbb{R} \) y mi esperanza era poder con ellos hacer el recorrido satisfactorio hasta el cálculo y el álgebra lineal que ya conozco pero que quisiera entender (rigurosamente hablando) antes de usarlos en física. El problema es que a partir de cierto punto me dejó de gustar lo que estaba resultado con el primer documento (ese que dice draft) y traté de iniciar otro con un enfoque distinto. Pero también se acabo mi paciencia para el segundo intento.

De lo siguiente que me doy cuenta es que estoy leyendo el primer capítulo del libro de Lógica Matemática de Carlos Ivorra y me siento mucho mejor. Sí, al no contentarme con el mencionado punto de partida pues no se me ocurrió otra solución que volver lo más atrás posible, a la teoría de conjuntos axiomatizada, ya que aquella teoría intuitiva, incluso como es presentada en el primer capítulo del libro de Álgebra de Ivorra, me sigue incomodando. Tal vez sea reprochable pensar de esta manera, dado que es obvio que no se necesita toda esa maquinaria para confiar en las leyes de Newton, y ofrezco disculpas antes de ser reprochado con la excusa de que soy muy joven. Traté de evitar este último recurso de volver hacia los fundamentos lo más que pude, pues reconozco que es razonable trabajar con menos que eso, pero irracionalmente no me conformo con poco.

Bueno, transmutar unos problemas difíciles en otros también difíciles. En fin.  Lo que me queda en este momento es buscar mentoría ahora que que aspiro a entender este delicado tema, pues no conozco otras personas experimentadas que compartan mis opiniones y que me puedan guiar, así que asumí que un foro como este sería un buen intento.

Ya tengo una idea de como proceder con este nuevo comienzo. El libro de Lógica de Ivorra me ha llenado el hueco de lo que es un lenguaje formal, algo que siempre quise entender, así como la distinción de sintaxis y semántica. Después sigue el cálculo deductivo y con eso listo pues seguiría lo más básico de ZF para comenzar a abrirse paso en el análisis, el álgebra y la geometría. Solo comienzo observando que además del cálculo deductivo el mencionado libro pues tiene más de lo necesario así que en este punto es donde me vendría bien una mano. Al menos todavía no me planteo estudiar mucho de ordinales y cardinales por lo que no me hace falta todo la potencia de ZFC, así como puedo postergar un poco todo aquello del resultado de completitud semántica. Lo que me parecería ideal para discutir entonces es cómo empatar satisfactoriamente esos dos capítulos de lógica con la serie de libros de álgebra, geometría y análisis de Carlos Ivorra. No se trata apenas de los libros, con ellos quiero representar una visión de los temas pues conozco muchos otros libros y no es difícil consultar otros más. Este el punto de mi primer mensaje, no pude descartar la parte humana de incluir todo el contexto así que de antemano agradezco la atención prestada si ha leído hasta este punto.

Agradeceré finitamente también cada respuesta a este mensaje.