Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Mensaje iniciado por: Eduzyrtin en 17 Diciembre, 2021, 11:33 am

Título: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Eduzyrtin en 17 Diciembre, 2021, 11:33 am
Buenos días, me llamo Edu y llevo bastante tiempo resolviéndome las dudas de mates por este foro, y hoy tengo una de la cual no he encontrado nada de información.
Resulta que me piden en un ejercicio determinar la matriz jacobiana de h = g o f. Que a priori parece sencillo, y estas son las funciones:

\( f(x,y,z) = (-2x + 3y - z)^3 \)

y

\( g(u) = (u^2 + 1, \frac{1}{1+u^3}) \)

Nunca he hecho ejercicios de matrices Jacobianas, pero si he visto varios y entiendo que no es complejo. De hecho, tengo un ejemplo de g o f en el libro con jacobiana diferencial (aunque este no sea diferencial).
El problema, donde me ha matado por completo, es en la función f(x), que al estar elevada, no se como hacerlo ni consigo encontrar ejercicios de referencia.

¿Cómo se procede con una función elevada para resolver determinar la matriz jacobiana?

¡Gracias y un saludo!
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Masacroso en 17 Diciembre, 2021, 11:40 am
Buenos días, me llamo Edu y llevo bastante tiempo resolviéndome las dudas de mates por este foro, y hoy tengo una de la cual no he encontrado nada de información.
Resulta que me piden en un ejercicio determinar la matriz jacobiana de h = g o f. Que a priori parece sencillo, y estas son las funciones:

\( f(x,y,z) = (-2x + 3y - z)^3 \)

y

\( g(u) = (u^2 + 1, \frac{1}{1+u^3}) \)

Nunca he hecho ejercicios de matrices Jacobianas, pero si he visto varios y entiendo que no es complejo. De hecho, tengo un ejemplo de g o f en el libro con jacobiana diferencial (aunque este no sea diferencial).
El problema, donde me ha matado por completo, es en la función f(x), que al estar elevada, no se como hacerlo ni consigo encontrar ejercicios de referencia.

¿Cómo se procede con una función elevada para resolver determinar la matriz jacobiana?

¡Gracias y un saludo!

Usando la regla de la cadena tienes que \( \partial h(v)=\partial (g\circ f)(v)=(\partial g\circ f)(v)\partial f(v) \), por tanto la matriz jacobina de \( h \) es el producto de las jacobianas de \( g \) y \( f \), donde la jacobiana de \( g \) se valora en \( f(v) \) y la de \( f \) en \( v \). Espero que con eso puedas resolver el ejercicio, si no es así vuelve a preguntar.
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2021, 11:44 am
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas (http://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=678.0) del mismo así como el tutorial del LaTeX (http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Buenos días, me llamo Edu y llevo bastante tiempo resolviéndome las dudas de mates por este foro, y hoy tengo una de la cual no he encontrado nada de información.
Resulta que me piden en un ejercicio determinar la matriz jacobiana de h = g o f. Que a priori parece sencillo, y estas son las funciones:

\( f(x,y,z) = (-2x + 3y - z)^3 \)

y

\( g(u) = (u^2 + 1, \frac{1}{1+u^3}) \)

Nunca he hecho ejercicios de matrices Jacobianas, pero si he visto varios y entiendo que no es complejo. De hecho, tengo un ejemplo de g o f en el libro con jacobiana diferencial (aunque este no sea diferencial).
El problema, donde me ha matado por completo, es en la función f(x), que al estar elevada, no se como hacerlo ni consigo encontrar ejercicios de referencia.

¿Cómo se procede con una función elevada para resolver determinar la matriz jacobiana?

 Creo que te está confundiendo ese exponente. No añade ninguna dificultad a la cuestión. Simplemente tienes que derivar para cada parcial con la regla de la cadena, como harías con cualquier potencia. Por ejemplo:

- si \( p(x)=(x+sin(x))^3 \) entonces por la regla de la cadena \( p'(x)=3(x+sin(x))^2\cdot (1+cos(x)) \)

 En tu caso si tienes \( f(x)=(-2x+3y-z)^3 \), la parcial respecto a x sería:

\( \dfrac{\partial f}{\partial x}=3(-2x+3y-z)^2\cdot (-2) \)

 ¿Con esto sabes resolver el problema?.

Spoiler
Puedes usar que la matriz jacobinana de la composición es el producto de matrices jacobianas de cada une de las funciones
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Eduzyrtin en 17 Diciembre, 2021, 01:48 pm
Hola, creo que lo he entendido, voy a poner los pasos que he hecho:

\( h = g \circ{} f \Rightarrow{} \ Dg(f(1,0,1))Df(1,0,1) \)

Se halla el valor de \( f(1,0,1) = -27 \)

Derivada de f \( Df (1,0,1) = (3(-2x,+3y-z)^2(-2)), 9(-2x,+3y-z)^2, -3(-2x,+3y-z)^2) = (-54, 81, -27) \)

Derivada de g \( Dg (-27) = \begin{pmatrix}2u \\{\frac{3u^2}{(u^3+1)^2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-54 \\\frac{1}{inf}\end{pmatrix} \)

El problema es que creo que estoy cometiendo un error en algún punto, porque Dg me da un disparate.
Supongo que luego hay que multiplicar Dg * Df y esa matriz es el resultado:

\( \begin{pmatrix}-54 \\\frac{1}{inf}\end{pmatrix} * (-54, 81, -27) =  \) Matriz resultado

¿Es así?

Gracias de antemano y un saludo.
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Masacroso en 17 Diciembre, 2021, 02:34 pm
Hola, creo que lo he entendido, voy a poner los pasos que he hecho:

\( h = g \circ{} f \Rightarrow{} \ Dg(f(1,0,1))Df(1,0,1) \)

Se halla el valor de \( f(1,0,1) = -27 \)

Derivada de f \( Df (1,0,1) = (3(-2x,+3y-z)^2(-2)), 9(-2x,+3y-z)^2, -3(-2x,+3y-z)^2) = (-54, 81, -27) \)

Derivada de g \( Dg (-27) = \begin{pmatrix}2u \\{\frac{3u^2}{(u^3+1)^2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-54 \\\frac{1}{inf}\end{pmatrix} \)

El problema es que creo que estoy cometiendo un error en algún punto, porque Dg me da un disparate.
Supongo que luego hay que multiplicar Dg * Df y esa matriz es el resultado:

\( \begin{pmatrix}-54 \\\frac{1}{inf}\end{pmatrix} * (-54, 81, -27) =  \) Matriz resultado

¿Es así?

Gracias de antemano y un saludo.

La idea la tienes, ahora observa que \( (-27)^3+1\neq 0 \), así que tienes un error en las cuentas.
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Eduzyrtin en 18 Diciembre, 2021, 08:48 pm
Buenas tardes,

he revisado el resultado, y me sigue saliendo un disparate, es posible que el ejercicio sea así  :o

\( \begin{pmatrix}-54\\{\frac{-2187}{387381124}}\end{pmatrix} \)

En cualquier caso, muchisimas gracias. Desde luego el planteamiento lo tengo y está justificado a pesar del posible error de cálculo.
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Masacroso en 18 Diciembre, 2021, 09:08 pm
Buenas tardes,

he revisado el resultado, y me sigue saliendo un disparate, es posible que el ejercicio sea así  :o

\( \begin{pmatrix}-54\\{\frac{-2187}{387381124}}\end{pmatrix} \)

En cualquier caso, muchisimas gracias. Desde luego el planteamiento lo tengo y está justificado a pesar del posible error de cálculo.

El Wolfram Mathematica me da el siguiente resultado:

\( \displaystyle{
\partial (g\circ f)(1,0,1)=\left(
\begin{array}{ccc}
 2916 & -4374 & 1458 \\
 \frac{59049}{193690562} &
   -\frac{177147}{387381124} &
   \frac{59049}{387381124} \\
\end{array}
\right)
} \)
Título: Re: Matriz jacobiana elevada
Publicado por: Eduzyrtin en 18 Diciembre, 2021, 09:26 pm
Supongo que me estaba volviendo loco por algo que efectivamente es así...
Odio cuando ponen estos ejercicios porque al final siempre piensas que el que lo está haciendo mal eres tú.

¡Muchas gracias por la comprobación!
Un saludo