Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las reglas (http://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=678.0) del mismo así como el tutorial del LaTeX (http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Buenos días, me llamo Edu y llevo bastante tiempo resolviéndome las dudas de mates por este foro, y hoy tengo una de la cual no he encontrado nada de información.
Resulta que me piden en un ejercicio determinar la matriz jacobiana de h = g o f. Que a priori parece sencillo, y estas son las funciones:
\( f(x,y,z) = (-2x + 3y - z)^3 \)
y
\( g(u) = (u^2 + 1, \frac{1}{1+u^3}) \)
Nunca he hecho ejercicios de matrices Jacobianas, pero si he visto varios y entiendo que no es complejo. De hecho, tengo un ejemplo de g o f en el libro con jacobiana diferencial (aunque este no sea diferencial).
El problema, donde me ha matado por completo, es en la función f(x), que al estar elevada, no se como hacerlo ni consigo encontrar ejercicios de referencia.
¿Cómo se procede con una función elevada para resolver determinar la matriz jacobiana?
Creo que te está confundiendo ese exponente. No añade ninguna dificultad a la cuestión. Simplemente tienes que derivar para cada parcial con la regla de la cadena, como harías con cualquier potencia. Por ejemplo:
- si \( p(x)=(x+sin(x))^3 \) entonces por la regla de la cadena \( p'(x)=3(x+sin(x))^2\cdot (1+cos(x)) \)
En tu caso si tienes \( f(x)=(-2x+3y-z)^3 \), la parcial respecto a x sería:
\( \dfrac{\partial f}{\partial x}=3(-2x+3y-z)^2\cdot (-2) \)
¿Con esto sabes resolver el problema?.
Spoiler
Puedes usar que la matriz jacobinana de la composición es el producto de matrices jacobianas de cada une de las funciones
Saludos.
Buenas tardes,
he revisado el resultado, y me sigue saliendo un disparate, es posible que el ejercicio sea así :o
\( \begin{pmatrix}-54\\{\frac{-2187}{387381124}}\end{pmatrix} \)
En cualquier caso, muchisimas gracias. Desde luego el planteamiento lo tengo y está justificado a pesar del posible error de cálculo.
El Wolfram Mathematica me da el siguiente resultado:
\( \displaystyle{
\partial (g\circ f)(1,0,1)=\left(
\begin{array}{ccc}
2916 & -4374 & 1458 \\
\frac{59049}{193690562} &
-\frac{177147}{387381124} &
\frac{59049}{387381124} \\
\end{array}
\right)
} \)