Hola
Si; si la expresión de la direccional fuese correcta esas serían las parciales, que son al fin y al cabo un caso particular de direccionales para los vectores de la base canónica.
No comprendo bien que queres decir con eso que resalte en rojo , esta expresión
\( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2 \), no me permite hallar las derivadas parciales simplemente tomando las direcciones que puse en mi mensaje anterior ??
Entonces en este caso esto no es correcto \( \nabla f(1,2)=(4,3) \) ??
Piues si lees los mensajes anteriores lo que apunté es que el enunciado está mal, es decir,
es imposible que \( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2 \) sea la expresión de una derivada direccional.El motivo es que la derivada direccional siempre cumple \( f'(A,k \vec r)=kf'(A,\vec r). \) Y esa expresión NO lo cumple:
\( f'((1,2),k(u,v))=4ku+\color{red}3k^2v^2\color{black}\neq kf'((1,2),(u,v))=4ku+\color{red}3kv^2\color{black} \)
Ahora lo que si es cierto es que dada la expresión general de la derivada direccional en un punto, en particular uno conoce las parciales, es decir si conociésemos una expresión de f'((1,2),(u,v)) correcta se tendría que:
\( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(1,2)=f'((1,2),(1,0) \) \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(1,2)=f'((1,2),(0,1) \)
Para la existencia de extremos , es correcto afirmar que si una función es derivable para toda dirección no es condición suficiente para afirmar que hay un extremo en A?
Eso es cierto; pero realmente no sé si es lo que querías decir. Es una obviedad y no aporta mucho. Que sea derivable en toda dirección no llega por supuesto para afirmar que hay un extremo. ¿Por qué había de llegar?. Ni que sea diferenciable llega tampoco...
Una propiedad más interesante al respecto es que si en un punto es derivable en toda dirección y tiene un extremo en ese punto, entonces todas esas derivadas direccionales tienen que ser nulas. El recíproco no es cierto; las derivadas direccionales pudieran ser nulas y no tener un extremo en el punto.
Si es diferenciable es suficiente para afirmar que dichos extremos puedan existir?
De nuevo es una afirmación tan cierta como vaga e inútil. ¿Para afirmar que
puedan existir? Claro que
pueden existir (¡o no!) si es diferenciable y también si no lo es. Afirmar que pueden existir no dice nada demasiado útil.
En general en tus últimos problemas estás teniendo mezclando de manera muy confusa condiciones necesarias y suficentes, afirmaciones y sus recíprocas.Cuando te dan una condición suficiente para que ocurra algo, es decir si se cumple \( A \) entonces se tiene \( B \), si NO se cumple \( A \) no sabemos nada sobre \( B \). Tu tiendes a escribir las cosas como si pensases que en un caso así si no se cumple \( A \) entonces no se cumple \( B \).
Saludos.
