Comprendo que el problema el enunciado es tan simple que es difícil de explicar. Quizás no te sorprenda que al leer los pasos enumerados y la pequeña explicación que diste se me aclaro la duda. Ahora no se como no lo había entendido antes.

¡Muchas gracias!

Saludos, muchas gracias por la respuesta. Supongo que para aclarar mejor lo que quiero hacer tengo que  dar más contexto.

Si yo tengo el siguiente derivada total \( df=x'\dfrac{\partial f}{\partial x}+y'\dfrac{\partial f}{\partial y} \) y \( dg=x'\dfrac{\partial g}{\partial x}+y'\dfrac{\partial g}{\partial y} \) y me considero la siguiente expresión

\( df.g+f.dg=h \)  (*).

donde \( h \) es una nuevo función, si supongo que conocemos de antemano el valor de \( f \) y sus derivadas pero no conocemos el valor de \( g \) ¿No podríamos considerar la expresión (*) como una EDP de primer orden donde los coeficientes sean la función \( f \) junto con sus derivadas? Claramente los términos que había colocado en el post anterior salen de ese razonamiento, dado que las derivadas de \( g \) están multiplicadas por \( x',y' \) ¿Podemos pasar colocar estas expresiones multiplicando a la función \( f \) y tratar la ecuación como una EDP de primer orden?

La respuesta ya me la indicaste, es no, lo que me gustaría saber ahora es por qué no se puede (que falla) y como podría resolver una ecuación de ese tipo, ¿Es necesario recurrir a la teoría de formas diferenciales?

Saludos. Me gustaría pedir su ayuda para entender una parte de la exposición del libro de Lee.

En el capítulo 7 "curvature", pagínas 116 y 117 John Lee escribe lo siguiente

"Given a Riemannian 2-manifold \( M \), there is an obvious way to attempt to construct such an extension of a vector \( Z_p\in T_pM \), Choose any local coordinates \( (x^1,x^2) \) centered at \( p \); first parallel translate \( Z_p \) along the \( x^1 \)- axis, and then parallel translate the resulting vectors along the coordinate lines parallel to the \( x^2 \)-axis. The result is a vector field \( Z \) that, by construction, is parallel along every \( x^2 \)-coordinate line and along the \( x^1 \)-axis. The question is whether this vector field is parallel along \( x^1 \)-coordinate lines other than the \( x^1 \)-axis itself, or in other words, whether \( \nabla_{\partial_1}Z=0 \).  Observe that \( \nabla_{\partial_1}Z \) vanishes when \( x^2=0 \),"

Mi pregunta es ¿por que \( \nabla_{\partial_1}Z \) se anula cuando \( x^2=0 \)?

Luego J. Lee continua con lo siguiente

"because \( \nabla_{\partial_2}Z = 0 \) everywhere by construction."

Tampoco me queda claro por que ese campo se enula. obviamente, no me quedó claro la construcción, ¿podrían ayudarme a comprenderla un poco mas?

Gracias de antemano por cualquier ayuda prestada.

¡Muchas gracias! comprendido

Saludos a todos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente:

Sea \( M \) una variedad diferenciable y \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) una carta coordenada alrededor de un punto \( p\in M \) el conjunto de 1-formas \( dx^1,\ldots,dx^n \) es un referencial móvil (frame) del fibrado cotangente \( T^*M \). El conjunto \( \{(dx^{i_1})\wedge\ldots\wedge(dx^{i_k}): i_1\leq\ldots\leq i_k\leq n\} \) es un referencial móvil para \( \Lambda^kT^*M \)

Si tengo otra carta coordenada \( (V,y^1,\ldots,y^n) \) alrededor de \( p \) y \( U\cap V\neq0 \) ¿Como puedo hacer el cambio de base de un sistema al otro?

Gracias de antemano por la ayuda.

Edito: Se que debe de aparecer el determinante de la matriz jacobiana, lo que deseo saber es como aparece.

Saludos. estaba intentando probar lo siguiente: Dada una variedad riemanniana \( (M,g) \), \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) un abierto coordenado de \( M \) y \( p_0,p_1\in U \) ver que

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}g_{i,j}\dot{x}^i\dot{x}^j} \)

No depende de la parametrización. Para ello hice el los cambios de coordenadas de

\( g_{i,j}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}g'_{kl}\frac{\partial y^l}{\partial x^j} \)

 donde \( y^1,\ldots,y^n \) son las nuevas coordenadas. \( g'_{kl} \) es la métrica en estas nuevas coordenadas y

\( \frac{dx^i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\dot{y}^k \)

\( \frac{dx^j}{dt}=\sum_{l=1}^{n}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\dot{y}^l \)

Juntando todo ello obtengo

\( \int_{p_0}^{p_1}\sqrt{\sum_{i,j,k,l=1}^{n}\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right)\left(\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial y^l}\right)g'_{kl}\dot{y}^k\dot{y}^l} \)

La principal pregunta es si lo que coloqué dentro de los parentesis se hace 1 y por que. Sino ocurre ¿Como podría seguir para probar que esa integral no depende de las coordenadas que escojamos?

La otra pregunta que quería hacerles es acerca de esa frase "no depende de la parametrización". En casi todos los ejemplos que he visto siempre aparece la matriz Jacobiana del cambio de cartas (de ser verdad lo que puse en el párrafo anterior este sería el primer caso que recuerdo que no ocurre esto). Realmente en esos casos lo que he visto es que las propiedades si cambian al cambiar la parametrización pero lo hacen de una manera muy especifica. Mi pregunta es ¿Siempre es posible escoger las nuevas coordenadas de manera tal que el determinante de la matriz Jacobiana del cambio de cartas se igual a 1? ¿A que se debe que yo siempre pueda "despreciar" este cambio al cambiar de coordenadas?

Muchas gracias de antemano

Saludos. Estaba probando que las geodésicas minimizan (localmente) distancias entre puntos como problema variacional. Uno de los puntos que me llamó la atención es que en dicho problema podemos tomar un lagrangiano \( L_1 \) que es la raiz cuadrada de la métrica Riemanniana y otro lagrangiano \( L_2=\frac{1}{2}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j \) (no estoy explicando mucho la notación pero creo que estoy usando la notación estándar para estos tópicos).

No me quedó del todo claro por que podía escoger \( L_2 \) para tratar el problema de minimizar distancias así que intenté ver que podía llegar a la ecuación de las geodésicas con los dos lagrangianos. Para el lagrangiano \( L_2 \) logré resolverlo (con la ayuda geómetracat en un hilo anterior), cuando quise hacerlo para el lagrangiano \( L_1=\sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j} \) vi que una parte de las ecuaciones de Euler-Lagrange (y suponiendo que la curva que deseo minimizar está parametrizada por longitud de arco) me quedaba igual que para el lagrangiano \( L_2 \). Pero tuve problemas con \( \partial L_1/\partial\dot{q}^k \). Este fue el problema

\( \frac{\partial L_1}{\partial\dot{q}^k}=\frac{g_{kj}\dot{q}^j}{2\sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}} \)

Allí apliqué la regla básica de diferenciación de la raíz, pero para obtener el resultado deseado ese factor \( 1/2 \) me estorba ¿Podrían indicarme que estoy haciendo mal en este caso? ¿El enfoque que tomé no es el correcto? Cuando hice la derivada \( \partial L_1/\partial q \) me apareció el factor \( 1/2 \) pero en ese caso si lo necesitaba allí

Saludos

Muchísimas gracias. Ya lo vi y seguiré tu consejo, me detendré a leer ese capítulo del Do Carmo antes de proseguir con mi estudio de la Geometría Riemanniana.

De nuevo gracias por el tiempo para responder mis dudas.

Te tengo que pedir disculpas porque te lié yo con esto en el otro hilo. Decir que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=v \) no tiene mucho sentido, porque \( v \) es un vector que vive en \( T_pM \) mientras que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es un vector que vive en \( T_{\gamma_v(1)}M \). Lo que sí que es verdad, esencialmente por el argumento que has puesto, es que \( (\mathrm{d}exp_p)_v(v) \) es el transportado paralelo de \( v \) a lo largo de \( \gamma_v \), y por tanto:
\( \langle \mathrm{d}exp_p)_v(v), \mathrm{d}exp_p)_v(w_T) \rangle = \langle v, w_T \rangle \),
donde \( w_T \) es un vector paralelo a \( v \), porque el transporte paralelo es una isometría.
Espero que ahora esté todo correcto y quede claro el argumento.

No tienes de que preocuparte, yo mas bien estoy muy agradecido por la ayuda que me has brindado en mis últimas preguntas. Todo perfecto, ya entendí el argumento.

No entiendo muy bien la duda. Ahí \( exp_p(tv+tsw_N) \), si dejas \( s \) fijo como parece que haces, es una curva sobre la superfície, de hecho la geodésica que en tu notación denotas por \( \gamma(t,p.v+sw_N) \), luego la derivada respecto a \( t \) te da el vector tangente, como en cualquier curva.

En la expresión \( \gamma(t,p.v+sw_N) \) el vector \( v+sw_N \) es la suma de del vector \( v \) y un vector normal a él. Si diferenciara con respecto a \( s \) ¿Me quedaría solo \( w_N \)? Este fue realmente el punto que me llevo a preguntar lo de si se podría tener como una derivación interna, al pensarlo mejor vi que eso no tiene mucho sentido, pero aun me queda la suda en cuanto se refiere a la derivada con respecto a \( s \). ¿Se aplica el mismo argumento que con \( t \)? Es decir, al dejar fijo \( t \) obtengo una geodesica pero esta vez el vector tangente sería \( w_N \) ¿Por que?

Imagina que tienes una esfera \( S \) centrada en el origen en \( T_pM \) (aquí debes entender esfera como el conjunto de vectores de \( T_pM \) que cumplen \( \langle v, v \rangle = r \), donde la métrica es la riemanniana). Entonces, un vector \( v \in S \) es ortogonal a cualquier vector que sea tangente a la esfera en el punto \( v \in S \). Trasladado a la variedad vía \( exp_p \) (en el rango donde es un difeomorfismo, por eso lo de esferas suficientemente pequeñas), y usando el lema de Gauss del do Carmo:
\( \langle d(exp_p)_v(v), d(exp_p)_v(w) \rangle = \langle v, w \rangle = 0 \)
si \( v \in S \) y \( w \) es tangente a \( S \).
Pero \( d(exp_p)_v(v) \) es por definición el vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \), mientras que \( d(exp_p)_v(w) \) es un vector tangente a \( exp_p(S) \). En resumen, todo vector tangente a una geodésica que sale de \( p \) en un punto de \( exp_p(S) \) es ortogonal a todo vector tangente a \( exp_p(S) \) en ese punto.

Me ha quedado claro. Muchas gracias

Saludos. Muchas gracias por la respuesta. Si, escribí mal en una hoja la formula y fue esa formula errada la que utilicé. Al arreglarla logré ver lo que no podía ver en la segunda pregunta que hice. Con la expresión correcta salió bastante rápido.

La propiedad aparece es en la ecuación de las geodésicas pero al hacer las combinaciones no me quedó el resultado. De hecho se me terminó anulando el término \( \frac{\partial g_{ij}}{\partial x_l} \) y los otros me aparecieron dos veces cada uno ¿Podrías explicarme mas acerca de esa suma?

Muchas gracias de antemano