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Geometría Diferencial - Variedades / Diferencial del cambio de coordenadas del fibrado tangente
« en: 28 Diciembre, 2019, 09:23 pm »
¡Saludos! Me gustaría solicitar su ayuda con lo siguiente:
Estaba probando que el fibrado tangente \( TM \) es orientable sin importar si la variedad \( M \) lo es, para ello consideré el cambio de cartas en el fibrado \( (x_1,\ldots,x_n)\rightarrow((\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(x_1,\ldots,x_n),d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(v_1,\ldots,v_n)) \). Al escribirlo de esa forma el resultado sera una matriz dividida en 4 bloques. en el primer bloque quedaría la derivada de \( \phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( (x_1,\dots,x_n) \) que será precisamente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) y el segundo bloque (el \( A_{12} \)) sera \( 0 \) ya que es el resultado de derivar \( d\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \).
Mi duda viene al derivar \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \), Esta derivada debe de ser simplemente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) ahora bien, ¿Esto se debe porque al definir la diferencial sobre \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) lo hacemos sobre el punto \( v=(v_1,\ldots,v_n) \) y esto hace que el operador \( d(d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta))_v(v_1,\ldots,v_n) \) es la identidad?
Gracias de antemano por la ayuda que puedan brindarme.
Estaba probando que el fibrado tangente \( TM \) es orientable sin importar si la variedad \( M \) lo es, para ello consideré el cambio de cartas en el fibrado \( (x_1,\ldots,x_n)\rightarrow((\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(x_1,\ldots,x_n),d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(v_1,\ldots,v_n)) \). Al escribirlo de esa forma el resultado sera una matriz dividida en 4 bloques. en el primer bloque quedaría la derivada de \( \phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( (x_1,\dots,x_n) \) que será precisamente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) y el segundo bloque (el \( A_{12} \)) sera \( 0 \) ya que es el resultado de derivar \( d\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \).
Mi duda viene al derivar \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \), Esta derivada debe de ser simplemente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) ahora bien, ¿Esto se debe porque al definir la diferencial sobre \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) lo hacemos sobre el punto \( v=(v_1,\ldots,v_n) \) y esto hace que el operador \( d(d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta))_v(v_1,\ldots,v_n) \) es la identidad?
Gracias de antemano por la ayuda que puedan brindarme.