[pablo.chanduj]

                     Buenos días estimados: Tengo dudas sobre la siguiente resolución. El ejercicio es:

Sea \( A\subseteq{R} \) acotado superiormente y c una cota superior de A. Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i. c es el supremo de A.
ii. Para todo r>0 existe \( x\in{A} \) tal que \( c-r<x\leq{c} \)
iii. Para todo \( n\in{N} \) existe \( x\in{A} \) tal que \( c-\displaystyle\frac{1}{n}<x \)

                    Mi solución planteada es la siguiente:
i. Fue demostrado por teoría y definición.
ii. 1. \( \forall{x}\in{A} \) : \( x\leq{c} \). c es cota de A, ya demostrado en el punto i.
    2. c-r<c
    3. Se concluye por el punto 1 y 2 que \( c-r<x\leq{c} \)
iii. \( c-\displaystyle\frac{1}{n}<x\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{cn-1}{n}<x}\Leftrightarrow{cn-1<xn}\Leftrightarrow{-1<n(x-c)}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{-1}{x-c}<n}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{1}{c-x}<n} \). La ultima desigualdad se cumple ya que n no es acotado superiormente.

                     Mis soluciones planteadas en el punto ii y iii están bien? espero respuestas! saludos cordiales!

[Masacroso]

La respuesta original, en el spoiler, está mal, no se trataba de demostrar los puntos, como Luis dice más abajo, sino de demostrar su equivalencia.

olvidarse de esto

ii. 1. \( \forall{x}\in{A} \) : \( x\leq{c} \). c es cota de A, ya demostrado en el punto i.
    2. c-r<c
    3. Se concluye por el punto 1 y 2 que \( c-r<x\leq{c} \)

¿Y cómo deduces el punto 3? Es decir, ¿cómo justificas que tal \( x \) existe?

iii. \( c-\displaystyle\frac{1}{n}<x\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{cn-1}{n}<x}\Leftrightarrow{cn-1<xn}\Leftrightarrow{-1<n(x-c)}{\color{red}{\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{-1}{x-c}<n}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{1}{c-x}<n} \). La ultima desigualdad se cumple ya que n no es acotado superiormente.

La desigualdad marcada en rojo está mal ya que \( x-c<0 \). Siguiendo tu idea te quedaría que \( \frac1{c-x}>n \), lo cual sólo se puede cumplir para un número finito de enteros positivos por tanto no es claro que la desigualdad se cumpla para algún \( n\in \mathbb{N} \).

Esta parte se sigue de la anterior, ya que se dice que "para todo \( r>0 \)...", por tanto puedes tomar \( r=1/n \).

Corrección.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 Un comentario general. No tiene sentido que digas: "voy a probar (i)"; luego "voy a probar (ii)". Lo que te piden es que pruebes la EQUIVALENCIA entre las tres condiciones. Es decir tienes que demostrar que:

\( (i)\quad \Leftrightarrow{}\quad  (ii) \quad \Leftrightarrow{}\quad (iii) \)

Normalmente para ello se prueba:

\( (i)\quad \Rightarrow{}\quad  (ii) \quad \Rightarrow{}\quad (iii) \quad \Rightarrow{}\quad (i) \)

Es decir, primero demuestras que si se cumple (i) entonces se cumple (ii). Luego que si se cumple (ii) entonces se cumple (iii); etcétera...

Saludos.

[Masacroso]

Hola

 Un comentario general. No tiene sentido que digas: "voy a probar (i)"; luego "voy a probar (ii)". Lo que te piden es que pruebes la EQUIVALENCIA entre las tres condiciones. Es decir tienes que demostrar que:

\( (i)\quad \Leftrightarrow{}\quad  (ii) \quad \Leftrightarrow{}\quad (iii) \)

Normalmente para ello se prueba:

\( (i)\quad \Rightarrow{}\quad  (ii) \quad \Rightarrow{}\quad (iii) \quad \Rightarrow{}\quad (i) \)

Es decir, primero demuestras que si se cumple (i) entonces se cumple (ii). Luego que si se cumple (ii) entonces se cumple (iii); etcétera...

Saludos.

Ups... ni me había dado cuenta que se trataba de equivalencias Vaya despiste.

[pablo.chanduj]

La respuesta original, en el spoiler, está mal, no se trataba de demostrar los puntos, como Luis dice más abajo, sino de demostrar su equivalencia.

olvidarse de esto

ii. 1. \( \forall{x}\in{A} \) : \( x\leq{c} \). c es cota de A, ya demostrado en el punto i.
    2. c-r<c
    3. Se concluye por el punto 1 y 2 que \( c-r<x\leq{c} \)

¿Y cómo deduces el punto 3? Es decir, ¿cómo justificas que tal \( x \) existe?

iii. \( c-\displaystyle\frac{1}{n}<x\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{cn-1}{n}<x}\Leftrightarrow{cn-1<xn}\Leftrightarrow{-1<n(x-c)}{\color{red}{\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{-1}{x-c}<n}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{1}{c-x}<n} \). La ultima desigualdad se cumple ya que n no es acotado superiormente.

La desigualdad marcada en rojo está mal ya que \( x-c<0 \). Siguiendo tu idea te quedaría que \( \frac1{c-x}>n \), lo cual sólo se puede cumplir para un número finito de enteros positivos por tanto no es claro que la desigualdad se cumpla para algún \( n\in \mathbb{N} \).

Esta parte se sigue de la anterior, ya que se dice que "para todo \( r>0 \)...", por tanto puedes tomar \( r=1/n \).[/spolier]

Corrección.

[cerrar]

                       Estimado: Gracias por la respuesta! pero no me doy cuenta como resolver el punto ii, como se puede justificar la existencia de x? Saludos cordiales!

[manooooh]

Hola

La respuesta original, en el spoiler, está mal, no se trataba de demostrar los puntos, como Luis dice más abajo, sino de demostrar su equivalencia.

olvidarse de esto

ii. 1. \( \forall{x}\in{A} \) : \( x\leq{c} \). c es cota de A, ya demostrado en el punto i.
    2. c-r<c
    3. Se concluye por el punto 1 y 2 que \( c-r<x\leq{c} \)

¿Y cómo deduces el punto 3? Es decir, ¿cómo justificas que tal \( x \) existe?

iii. \( c-\displaystyle\frac{1}{n}<x\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{cn-1}{n}<x}\Leftrightarrow{cn-1<xn}\Leftrightarrow{-1<n(x-c)}{\color{red}{\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{-1}{x-c}<n}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{1}{c-x}<n} \). La ultima desigualdad se cumple ya que n no es acotado superiormente.

La desigualdad marcada en rojo está mal ya que \( x-c<0 \). Siguiendo tu idea te quedaría que \( \frac1{c-x}>n \), lo cual sólo se puede cumplir para un número finito de enteros positivos por tanto no es claro que la desigualdad se cumpla para algún \( n\in \mathbb{N} \).

Esta parte se sigue de la anterior, ya que se dice que "para todo \( r>0 \)...", por tanto puedes tomar \( r=1/n \).[/spolier]

Corrección.

[cerrar]

                       Estimado: Gracias por la respuesta! pero no me doy cuenta como resolver el punto ii, como se puede justificar la existencia de x? Saludos cordiales!

¡No! Lo que trató de hacer Masacroso fue de demostrar \( (ii) \), pero como señaló Luis en su intervención, te piden probar \( (i)\quad \Leftrightarrow{}\quad  (ii) \quad \Leftrightarrow{}\quad (iii) \). Para demostrar \( p\Leftrightarrow q \) se suele probar \( p\Rightarrow q \) y \( q\Rightarrow p \). No tengo idea de cómo probarlos, así que intenta tú por ejemplo empezar por:

\( \underbrace{\text{Si \(c\) es el supremo de \(A\) }}_{(i)} \Rightarrow \underbrace{\text{ Para todo \(r>0\) existe \(x\in A\) tal que \(c-r<x\leq c\)}}_{(ii)} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Entiendo que como definición de supremo de \( A \) estás usando que es el mínimo del conjunto de cotas superiores de \( A \).

                     Buenos días estimados: Tengo dudas sobre la siguiente resolución. El ejercicio es:

Sea \( A\subseteq{R} \) acotado superiormente y c una cota superior de A. Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i. c es el supremo de A.
ii. Para todo r>0 existe \( x\in{A} \) tal que \( c-r<x\leq{c} \)

 Por ejemplo para probar \( (i)\Rightarrow (ii) \).

 Supongamos que \( c \) es el supremo de \( A \), es decir, \( c \) es el mínimo del conjunto de cotas superiores de \( A \).

 Entonces en primer lugar \( c \) es una cota superior de \( A \) y así para todo \( x\in A \), \( x\leq c \).

 Ahora dado \( r>0 \) se tiene que \( c-r<c \); como \( c \) es el mínimo de las cotas superiores de \( A \), \( c-r \) NO puede ser una cota superior de \( A \). Por tanto existe \( x\in A \) tal que \( c-r<x \).

 Intenta las otras implicaciones.

Saludos.