Hola Luis, perdona que he tardado en responder, he tenido unos días complicados
Pero el problema es que así NO consigues infinitos racionales cumpliendo \( P_3^3+Q_3^3=1 \)... esas \( u \) se cancelan y realmente siempre se obtiene el mismo par \( (P,Q) \) cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \).
En ninguna parte dije que así se debían conseguir todas, fue un ejemplo para demostrarte que existen infinitas ternas \( a_n, b_n, c_n \)
Todo lo que he marcado en rojo no tiene sentido ninguno, y parece que es el fondo de tu error.
Pues la verdad me gustaría que me explicaras concretamente por qué ese razonamiento está mal.
Veo que si un Argumento me dice que para tal conjunto y sus subconjuntos se debe cumplir cierta condición y resulta que para un subconjunto no se cumple el Argumento, entonces ese Argumento es falso
¿Esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la escoges PREVIAMENTE entre una de esas soluciones RACIONALES que supones que existen?
Así es
Si es así, entonces \( a_n,b_n,c_n \), no son cualesquiera. Están prefijados.
Exacto, cada palabra que dijiste.
Y por tanto eso que hacías antes de coger los valores racionales de \( m,n \) que sabemos que verifican \( b_n^n=m^n+r^n \) ya no valen, porque esos podrían dar un valor de \( a_n \)que NADA tiene que ver con el que estaba PREFIJADO. Es aquí donde cobra sentido todo lo que te estado diciendo sobre las dos "emes".
Ya lo comprenderás mas abajo
¿O bien esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la ha formado a partir de los valores de \( m,r \) racionales que cumplen \( b_n^n=m^n+r^n \) escogiendo el valor de \( a_n \) a partir de \( m,r \)?
No la he formado ni pretendí crearla (aunque no sería mala idea)
Y en tu caso entramos en el problema que te comenté antes. Si tu terna viene seleccionada de un subconjunto, no puedes garantizar que tu \( m,r \) sean racionales.
La terna viene seleccionada de un conjunto, más abajo daré otro ejemplo de las \( m,r \)
Si tu terna la creas a partir de los racionales \( m,r \) entonces ya no proviene de ningún conjunto, subconjunto o premisa previa.
No la he creado
Bueno, comenzaré otra vez a explicarte:
Como te había explicado anteriormente, la terna \( a, b, c \) son un conjunto que contiene a todos aquellos subconjuntos que sí cumplen esta igualdad, partiendo de esto:
Por el enunciado (REF.01) la terna \( a, b, c \) será racional para todo \( n \), entonces para todos sus subconjuntos también lo serán:
\( a_k^n + b_k^n = c_k^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_k, b_k, c_k \) tendrá por lo menos un valor racional
\( a_v^n + b_v^n = c_v^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_v, b_v, c_v \) tendrá por lo menos un valor racional
\( a_u^n + b_u^n = c_u^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_u, b_u, c_u \) tendrá por lo menos un valor racional
\( a_n^n + b_n^n = c_n^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_n, b_n, c_n \) tendrá por lo menos un valor racional
(además podría indicar que \( b_n^n = m^n + r^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( b_n, m, r \) tendrá por lo menos un valor racional, ¿Qué me impide que no pertenezca esta terna al conjunto de \( a, b, c \)?, pues nada)
Y así puedes continuar, cada terna tiene diferente valor y por tanto diferentes racionales.
Si se divide el último elemento entre los primeros dos, obtenemos: \( P^n+Q^n=1 \) para cada subconjunto de \( a, b, c \)
Ahora, reunimos todas esas ternas en un solo conjunto y lo denotaremos como \( P_n^n+Q_n^n=1 \) y aquí tienes a todas las ternas infinitas, además, esta terna es formada por los subconjuntos de \( a, b, c \), entonces esta terna también es subconjunto de \( a, b, c \)
Pero ¿Por qué sucede esto?, pues
por el enunciadoAhora, si el enunciado fuera diferente, por ejemplo algo así:
Para todo \( n ≥ 1 \), existen a lo más tres racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: (REF.01)
\( a^n + b^n = c^n \)
Aquí si ya no funciona el razonamiento anterior, pues estaría diciendo que para el caso \( n=2 \) solamente existen tres racionales positivos y no más y por tanto solo una terna \( P^2+Q^2 = 1 \))
En la demostración que yo propongo, de todos sus conjuntos de \( a, b, c \), tomo uno, que es \( a_n , b_n, c_n \), luego dentro de este subconjunto habrán otras ternas, usando tus palabras, diré que estas ternas están prefijadas, por así decirlo
Luego llevo el razonamiento en paralelo para \( b_n \)
Y tengo estas dos líneas:
1. \( b_n^n = m^n+2\sqrt[ ]{m^na_n^n} \)
2. \( b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \)
(La expresión 2. se obtiene al multiplicar \( b_n^n \) por \( P_n^n+Q_n^n=1 \))
Pero ¿que significa la expresión 2. y que importancia tiene?, pues que \( b_n \) se puede escribir de infinitas formas como la suma de dos racionales elevados a la potencia \( n \) cada uno, por ejemplo para el caso \( n=2 \), sea \( b_2 = 7 \), entonces: \( 7^2 = (7P_2)^2+(7Q_2)^2 \):
\begin{pmatrix}{7^2 = (\frac{21}{5})^2+(\frac{28}{5})^2}\end{pmatrix} Aquí otra \begin{pmatrix}{7^2 = (\frac{35}{13})^2+(\frac{84}{13})^2}\end{pmatrix} otra \begin{pmatrix}{7^2 = (\frac{56}{17})^2+(\frac{105}{17})^2}\end{pmatrix}, ahora mira esto:
Terna racional para \( n=2 \): \( a = (\frac{56}{15}), b = 7, c=(\frac{119}{15}) \)
\begin{pmatrix}{a^2}\\{b^2}\\{c^2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{(\frac{56}{15})^2}\\{(7)^2}\\{(\frac{119}{15})^2}\end{pmatrix}, usando
2., tengo: \begin{pmatrix}{(\frac{56}{15})^2}\\{7^2 = (\frac{21}{5})^2+(\frac{28}{5})^2}\\{(\frac{119}{15})^2}\end{pmatrix} o esta \begin{pmatrix}{(\frac{56}{15})^2}\\{7^2 = (\frac{56}{17})^2+(\frac{105}{17})^2}\\{(\frac{119}{15})^2}\end{pmatrix}, ves como puedo estar jugando con \( 7^2 \), puedo escribirlo de infinitas formas como suma de racionales cuadrados cada uno.
(no olvides por favor este razonamiento)
Consideremos ahora la terna \( a_n, b_n, c_n \), (esta terna a su vez, contendrá subternas), la dividiremos en dos líneas:
Primera:\begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{(b_n)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{(b_n)^n = m^n + 2\sqrt[ ]{m^na^n}}\\{(c_n)^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2}\end{pmatrix} Luego la transformamos \begin{pmatrix}{a_n = \frac{r^2}{m}\sqrt[3]{1/4}}\\{b_n^n = m^n+r^n}\\{c_n^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^2}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2}\end{pmatrix} (\( m, r \) Reales), sustituyamos: \( k_1 = \frac{r^2}{m}\sqrt[3]{1/4} \), \( k_2 = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^2}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2 \), tenemos entonces: \begin{pmatrix}{a_n = k_1}\\{b_n^n = m^n+r^n}\\{c_n^n = k_2}\end{pmatrix}
(*)Segunda\begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{(b_n)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix}, Sustituyamos \( m_k^n = (b_nP_n)^n \), \( r_k^n = (b_nQ_n)^n \), tenemos entonces \begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{b_n^n = (m_k)^n + (r_k)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix}
(**)Comparemos (**) y (*):
\begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{b_n^n = (m_k)^n + (r_k)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix} \( \Leftrightarrow{} \) \begin{pmatrix}{a_n = k_1}\\{b_n^n = m^n+r^n}\\{c_n^n = k_2}\end{pmatrix}
La expresión del lado izquierdo está en su forma general, es decir, no hay variables que me permitan generar (\( a_n, c_n \)), pero me da la certeza que \( a_n \) es racional, cuando \( b_n^n \) es la suma de dos racionales elevados a la potencia \( n \) cada uno. La expresión del lado derecho, por el contrario, me permite generar \( a_n, b_n, c_n \) utilizando las variables \( m, r \).
La expresión del lado izquierdo, tiene infinitas combinaciones en cuanto a \( b_n \), la expresión del lado derecho, me permite tomar una de esas combinaciones de \( b_n \) y generar (\( a_n, b_n, c_n \)).
Por tanto, tomaremos una terna racional (\( a_u, b_u^n = m_1^n + r_1^n, c_u \)) en donde ambas expresiones (izquierda y derecha) converjan.
Comparamos esta terna con la expresión del lado derecho:
\begin{pmatrix}{a_u = k_1}\\{m_1^n+r_1^n = m^n + r^n}\\{c_u^n = k_2}\end{pmatrix}
Ya que ambas expresiones convergen, entonces \( m = m_1 \), \( r = r_1 \), (Ya que ambas expresiones VALEN lo mismo, entonces en algún momento las variables \( m, r \) valdrán lo mismo que \( m_1, r_1 \) y que con estos valores obtendremos la terna \( a_u, b_u^n = m_1^n + r_1^n, c_u \)) lo que nos lleva a:
\begin{pmatrix}{a_u = k_1}\\{b_u^n= m^n + r^n}\\{c_u^n = k_2}\end{pmatrix}
Entonces \( m, r \) toman valores racionales, pero cuando esto sucede, entonces \( a_u \) es irracional para todo \( n>2 \)
