Hola

 Las funciones \( u,v,w \) son (supongo) funciones de \( \Bbb R^3 \) en \( \Bbb R \). Está usando su polinomio de Taylor de grado 1 para aproximarlas.

 Mira por aquí, por ejemplo:

https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/quim1314/resumen01.pdf

Saludos.

Hola

Yo creía que las matemáticas deben ser la precisión tanto en los resultados como en las definiciones y resulta que aquí da lo mismo un 8 que un 80.

Las definiciones son convenios. El llamarle a un concepto así o asá es un convenio. Y no siempre hay unanimidad en los nombres, eso es un común en la literatura de matemáticas. Y otras veces es el contexto el que matiza su significado. En algún momento puede causar cierta confusión si; pero una vez aclaradas que definiciones y nombres se están usando no hay ningún problema y es absurdo confundir una discrepancia en los nombres con una discrepancia en el concpeto.

¿Cómo puedo explicar que no toda función derivable es diferenciable cuando hay definiciones que igualan ambos términos?

.

Pues definiendo previamente a que llamas función derivable y a que llamas diferenciable (de hecho esa afirmación no es tan obvia según que definiciones uses y según el contexto).

Nunca creí que tú, profesor de una Escuela de Caminos, y que has mostrado aquí resoluciones francamente geniales de problemas planteados, serías como aquellos alumnos que dicen que la derivada es la tangente, hallan la derivada en un punto y la exponen con un recuadro cuando se les pedía calcular la tangente en un punto.

Genéricamente la comparación con un alumno la tomo como un piropo, porque es fundamental no perder la perspectiva de que lo que uno sabes es ínfimo con respecto a lo que queda por aprender. Gracias. En cuanto al ejemplo concreto que pones, que quieres que te diga, no he hecho tal cosa.

Efectivamente cuando hay un isomorfismo entre dos espacios, pueden identificarse pero sólo para la propiedades que conserva el isomorfismo.

Muy bien.
 

Los números pares y los enteros son isomorfos (con el isomorfismo 2x) pero a nadie se le ocurriría enunciar una Conjetura de Goldbach para números enteros.

No se a que viene esto, pero muy bien.
 

Vuelvo a insistir en mi pregunta: ¿Cómo puedo explicar que no toda función derivable es diferenciable cuando hay definiciones que igualan ambos términos?.

Tan fácil como entender lo que te he dicho al principio: que a veces diferentes autores usan distintos nombres para referirse a un mismo concepto. O el significado de un nombre cambia o se matiza con el contexto.

Una aplicación lineal puede tener muchas matrices asociadas dependiendo de las bases que se utilicen. Me cuesta entender que un concepto como el de aplicación lineal, se identifique como montones de matrices. Otra cosa es que algunas propiedades de las matrices asociadas se traduzcan en propiedades de la aplicación lineal que representan. Dada la matriz \( M \), ¿Cuál es la transformación lineal que representa?. Que la matriz \( M \) sea triangular ¿Dice algo sobre las transformaciones asociadas?

Hay una identificación natural \( M\in \Bbb K^{n\times n} \) con un aplicación lineal en \( \Bbb K^n \) que no requiere hablar de bases.

No era una pregunta respetuosa sobre algo que no conocía. Era una pregunta irónica sobre un tema que conozco muy a fondo.

¿Entonces a qué viene esa ironía? ¿A qué viene la pregunta? ¿Qué aporta al debate?¿Qué tratas de insinuar? Lo mismo cuando das a entender que Masacroso une tres cosas sueltas para construir una frase que suene bien, dando a entender que no sabe lo que significa, para más tarda tacharlo de aficionado (en sentido peyorativo) y "mandarlo" a repasar conceptos. ¿Son esos argumentos para defender tu postura o son formas de intentar (pobremente) menospreciar a tu interlocutor?. Deberías de reflexionar sobre eso.

Como dije antes, me desanima este foro y esa contención que hay que tener cuando ves que alguien expone conceptos totalmente equivocados y en lugar de decir abiertamente que los revise, hay que inventarse fórmulas que no hieran su sensibilidad. Estoy pensando en darme de baja y buscar otra cosa.

Eres libre de defender cualquier postura respecto a una cuestión de matemáticas con la insistencia que quieras; pero con argumentos, no con menosprecios al interlocutor. Es tan sencillo como eso.

Saludos.

Hola

   Y digo que \( p \), no se puede descomponer en factores sin que la ecuación se desvirtúe sin que pierda su significado, no que  \( p \), sea primo.

 ¿Bien pero entonces EXACTAMENTE qué conclusión debe de extraerse de lo que dices?. Estoy de acuerdo en que  \( x \) y \( p \) deben de tener el mismo resto módulo \( 3 \) y que el cociente:

\( \dfrac{x^3-p^3}{3p} \)

debe de ser entero.

 ¿Y qué?¿impide eso que \( p \) pueda tener factor: NO? (si piensas que si explícalo).

 Entonces, ¿qué tiene que ver eso con que \( p \) no se pueda descomponer en factores? Y sobre todo ¿qué tiene que ver eso con la crítica a tu argumento que sigue vigente como muestra el ejemplo que te puse?.

   Dices rebobinando.., y te vuelvo a sugerir que leas con atención lo que he expresado en mi comentario.

 Lo he leído.

 

  Terminas con \( p = 2^3 = 9 \), supongo que es un error no intencionado.

Eso es una errata obvia que no influye en las cuentas que hago después donde uso \( p=8 \). Es gracioso

sigues con \( x = 14,   p = 8 \), como contra ejemplo, sin darte cuenta que en este caso también \( x \) y \( p \), responden a  la misma forma \( x = 2 + 3t \).

Ya se que ambos tienen resto módulo \( 3 \) igual a \( 2 \). ¿Y...?¿cuál es el problema?¿o qué conclusión debo de sacar de ahí?.

   Lo dicho te ruego que leas con atención mi comentario y si quieres te pronuncies sobre su totalidad sin ofuscaciones.

Ya lo he hecho.

Saludos.

Hola

 ancape: dado tu historial en el foro, parece mentira que no seas más cuidadoso con lo que escribes; en particular en ser más respetuoso con tu interlocutor, independientemente de si piensas que está acertado o equivocado. El tonillo de superioridad aconsejándole que repase esto y aquello está totalmente fuera de lugar. Lo más triste (para ti) es que te deja en mal lugar, ya que tachas de "perlas" afirmaciones totalmente atinadas.

 Vaya por delante que la discusión diferencial vs derivada para referirse ambos a la misma cosa, es una discusión bastante vacía; es una pura cuestión de nombres y dependiendo del contexto pueden encontrarse ambas en la literatura.

 El llamarle de una u otra manera no varía el fondo de la respuesta que se le ha dado en principio a anabella_mv y que resuelve su ejercicio.

"Se define la derivada en x∈A de una función f:A→B, siendo A y B espacios de Banach, como la única función lineal L que cumple..."

Yo creía que esa era la definición de diferencial

.

Se le llama derivada o diferencial dependiendo del autor. Puedes ver aquí que le llaman derivada  (diría que en inglés y en espacios de Bannach es el término preferido):

https://mat.ug.edu.pl/idsmm/media/filmy/DiffBanach-Summary.pdf

o como aquí ya Fernando apunta los dos nombres:

https://fernandorevilla.es/2015/07/29/diferenciabilidad-entre-espacios-de-banach/

Que me digas que aplicaciones lineales y constantes son "esencialmente" lo mismo es como identificar \( \mathbb{R^2} \) y \( \mathbb{C} \) y por tanto estudiar las curvas planas como subconjuntos de los números complejos.

No. Es como identificar una aplicación lineal con su matriz asociada, lo cuál está a la orden del día.

"Es lo mismo esencialmente, el término "diferencial" y esa notación es propia de geometría diferencial pero hay un isomorfismo entre derivadas de funciones diferenciales y sus diferenciales entendidos como mapas entre fibrados tangentes dado simplemente por \( ∂f(x)↦dxf, \) donde el lado de la izquierda es la derivada de \( f \) en \( x∈R^n \)"

¿Qué son mapas entre fibrados tangentes (aparte de lo bien que suena)?

El fibrado tangente es la variedad formada por todos los espacios tangentes a una variedad diferenciable.

Una aplicación (map en inglés) diferenciable entre dos variedades diferenciables define en cada punto una aplicación en sus espacios tangentes (la diferencial/derivada) y globalmente una aplicación entre los fibrados tangentes.

Así bien: preguntando respetuosamente sobre las cosas que desconoces.

"En espacios euclídeos el espacio tangente es trivial, siendo idéntico a la variedad base, de ahí el isomorfismo que te comentaba."

Esto me suena a aquellos generadores de frases en los que se escriben palabras en tres columnas y tomando una palabra de cada una se genera una frase que tiene sentido y podría pronunciarse en cualquier mitin.

Pues supongo que te suena así por desconocimiento; pero a falta de que Masacroso lo explique mejor (si le apetece) te lo aclaro un poco: en el caso de un espacio euclídeo el espacio tangente es el mismo en todos sus puntos y además isomorfo (en todos los sentidos) al propio espacio euclídeo. El fibrado tangente es el fibrado trivial: por ejemplo para \( \Bbb R^n \) el fibrado tangente sería \( \Bbb R^n\times \Bbb R^n \).

En resumen, si eres aficionado a las matemáticas, como dice tu perfil en Geogebra, creo que deberías revisar algunos conceptos como la relación entre derivada y diferencial.

Por lo que ha mostrado en el foro, es un aficionado a las matemáticas (comparto su afición), autodidacta (creo) y con muy amplios conocimientos; diría bastante superiores al licenciado medio en esta materia. Y todo lo que ha escrito aquí (más allá del nombre que depende del autor) es totalmente atinado.

, o lo que escribiste en otro hilo: "No es cierta la igualdad \( z=ln(e^z) \)

En ese hilo Masacroso tenía TODA la razón del mundo; pensé que lo habías entendido después de todas las explicaciones que él (no encuentro el hilo ahora mismo) y otros usuarios te dieron en este otro con el mismo tema:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126484.msg518001#msg518001

Saludos.

Hola

 En teoría lo veo bien planteado; no se si hay algún error relacionado con Python. No manejo ese lenguaje.

Saludos.

Hola

Intento:
Supongamos por contradicción que \( Y \) es infinito y \( X \) es finito, y que f es una función sobreyectiva \( f: X \rightarrow Y \).

Dado que \( f \) es sobreyectiva, cada elemento en \( Y \) tiene al menos un preimagen en \( X \), pero debido a la finitud de \( X \), hay solo un número finito de elementos en \( X \) disponibles para ser preimágenes.

Por lo tanto, habrá al menos un elemento en \( Y \) que tiene múltiples preimágenes en \( X \). Llamémosle \( y_1 \). Esto contradice la definición de función, ya que una función asigna a cada elemento en el dominio exactamente un elemento en el codominio. Si \( y_1 \) tiene múltiples preimágenes en \( X \), entonces \( f \) no es una función.

Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que existe una función sobreyectiva de un conjunto finito \( X \) a un conjunto infinito \( Y \) es falsa. En consecuencia, si \( f: X \rightarrow Y \) es sobreyectiva y \( X \) es finito, entonces \( Y \) debe ser finito.

¿Es correcto? o hay que demostrarlo distinto

Es correcto. Aunque te hago la misma observación que hice en un resultado análogo:

Conste que a la hora de demostrar eso siendo un poco "tiquismiquis" había que saber exactamente que definición de conjunto finito manejas y que resultados previos sobre el asunto ya tienes probados.

Saludos.

Hola

Es que para mostrar la convergencia uniforme, necesitaba la desigualdad. Pero veo que es falsa que $$\sin$$  sea uniformemente continua. Gracias por la aclaracion.

De hecho toda función \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) continua y periódica es uniformemente continua. En esencia la idea es que, siendo \( T \) el período, en el compacto \( [0,T] \) es uniformemente continua (porque toda función continua en un compacto es uniformemente continua) y la periodicidad extiende esa propiedad a todo \( \Bbb R \).

Saludos.

Hola

Y cuando dice que las aproximaciones sucesivas, es que por ejemplo si en la aproximación con \( n=4 \) y con \( n= 6 \) concuerdan con una exactitud menor a \( 10^{-6} \) me detengo? Pero si una cumple con la exactitud y otra no, debo seguir? Y Cuando dice cuente el número de nos que necesita, es decir si la precisión sucesiva la obtengo con \( n = 6 \), entonces el numero de nodos necesarios es \( 6 \)? De repente parezcan preguntas tontas, que pena contigo.

No hay preguntas tontas y cuánto más concretas sean mejor.

Tal como está redactado el enunciado (no me había fijado bien):

hasta que las aproximaciones sucesivas de las siguientes integrales concuerden con una exactitud de \( 10^{-6} \) .

Tienes que parar cuando la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas sea menor o igual que \( 10^{-6} \).

Saludos.

Hola

Talvez encontrando el valor de NU e pelo teorema de Pitot teríamos x de inmediato

En el triángulo rectángulo \( UHN \) llamamos \( c=NU \) a la hipotenusa, \( a=NH \) y \( b=UH=4 \) a los catetos. Como es usual \( p=(a+b+c)/2 \) el semiperímetro.

Entonces en el triángulo rectángulo \( ODN \):

\( ON^2=OD^2+ND^2\quad \Leftrightarrow{}\quad 32=(p-c)^2+(p-b)^2 \)

Pero:

\( p-c=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{a-(c-b)}{2},\qquad p-b=\dfrac{a+c-b}{2}=\dfrac{a+(c-b)}{2} \)

Queda:

\( 32=\dfrac{1}{4}[(a-(c-b))^2+(a+(c-b))^2]=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2-2bc)=\dfrac{1}{2}(c^2+c^2-8c)=c^2-4c \)

\( c^2-4c+32=0\quad c=2\pm \sqrt{4+32}=8 \) ó \( -4 \).

Nos quedamos con la solución positiva \( NU=c=8 \).

Y por el Teorema de Pitot:

\( x=NU+CP-UP=7+8-9=6 \)

Saludos.

Hola

Volviendo al ejercicio, tengo una duda respecto a una región del plano. Al fijar un punto \( (x_1, y_1) \), me pregunto qué ocurre cuando lo comparo con los elementos ubicados debajo y hacia la izquierda. Es decir,  \( x_1 - a - (y_1 - b) > x_1 - y_1 \) En esta situación, si \( b > a \), hay elementos mayores. Y si \( a < b \), ¿ocurre lo contrario? Gracias.

Osea, hay mayores y menores en esa misma zona(?)

Si fijas \( (x_1,y_1) \) un punto debajo a la izquierda es un punto  \( (x,y) \) con \( x\leq x_1,y\leq y_1 \). Entonces si, puede ser mayor o menor que \( (x_1,y_1) \).



 Por ejemplo el dibujo si fijamos el punto metido en el círculo amarillo, todos los rojos son menores que él y los azules mayores:

Además, tengo otra pregunta. Estoy verificando si cumple con la propiedad del supremo. Ya he demostrado que \( (m_x,0) \) es una cota superior. Ahora, mi objetivo es demostrar que \( (m_x,0) \) es el supremo, donde \( m_x \leq x \) (no entraré en tanto detalle). Sin embargo, no estoy seguro de cómo compararlo con cualquier  otra cota \( (x,y) \). Estoy considerando el caso  \( m_x \geq 0 \) y \( y > 0 \).

No acabo de entender lo que pretendes demostrar. Hablas de cotar superior y de supremo, ¿pero de qué conjunto?.

Si por propiedad del supremo te refieres a que todo conjunto acotado superiormente, entonces si se cumple y la prueba sería así.

Sea \( A\subset \Bbb N\times \Bbb N \) un conjunto acotado superiormente. Por tanto existe \( (x_1,y_1) \) cota superior. Eso dignifica que para todo \( (x,y)\in A \):

i) \( x-y\leq x_1-y_1 \)
ii) si \( x-y=x_1-y_1 \) entonces \( y\leq y_1 \).

Sea \( A_1=\{x-y\in \Bbb Z|(x,y)\in A\} \). Por (i) es un conjunto de números enteros acotado superiomente y por tanto tiene máximo \( M \) y \( B=\{y\in \Bbb N|(y+M,y)\in A\}\neq\emptyset \). Ahora distinguimos dos casos:

a) Si \( B \) está acotado superiormente tiene máximo \( y_0 \) entonces el supremo (de hecho el máximo) de \( A \) es \( S=(y_0+M,y_0)\in A \).

 Dado que pertenece al conjunto basta ver que \( S \) es una cota superior: dado \( (x,y)\in A \), se tiene que \( x-y\leq M=(y_0+M)-y_0 \) (por la propia definición de \( M \)). Si \( x-y<M=(y_0+M)-y_0 \) entonces \( (x,y)<S \). Si \( x-y=(y_0+M)-y_0=M \) se tiene que \( y\in B \) y entonces \( y\leq max(B)=y_0 \) y así \( (x,y)\leq S \).

b) Si \( B \) NO está acotado superiormente vemos que el supremo es \( S=(M+1,0) \):

b1) Es cota superior de \( A \) porque dado \( (x,y)\in A \) se tiene que \( x-y\leq M<M+1=M+1-0 \).

b2) Dado \( (x,y)\in A \) se tiene que \( x-y\leq M \).

Si \( x-y<M \) entonces por ser \( M \) máximo de \( A_1 \) existe \( (x',y')\in A \) tal que \( x'-y'=M>x-y \) y así \( (x,y)<(x',y')<S \).

Si \( x-y=M \) como \( B \) es no acotado, existe \( (x',y')\in A \) con \( x'-y'=M \) e \( y<y' \). Así \( (x,y)<(x',y')<S \).

Saludos.

P.D. Tengo la duda de si estás entendiendo los dibujos de la relación de orden. Porque más allá del formalismo, si los entiendes la idea de como se comporta esa relación debería de estar clara.