Efectivamente, la descomposición de una función racional en suma de fracciones simples es el método que explicaré cuando lleguemos a la integración de funciones racionales. No procede ahora la explicación de forma general.
Es correcto considerar esa integral como inmediata, aunque no era el método que se pedía.
Si me explicas como has integrado esta expresión:
\( \displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{}^{}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)\ dx \)
te diré si es correcto tu resultado.
Prueba a hacer el cambio de variable \( x=Tan(t) \):
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{}^{}dt=ArcTan(x)+Cte \)
En mi modesta opinión este ejercicio no puede resolverse por descomposición en suma de fracciones en la forma que lo haces, pero cuando contestes a mi primera pregunta te diré porqué.
¿Cuales son las primitivas de estas funciones?
\( \displaystyle\frac{1}{x-i} \) \( \displaystyle\frac{1}{x+i} \)
Pues que yo sepa no pueden calcularse en \( R \) ó habría que usar la definición compleja de logaritmo lo que complica mucho el asunto. En todo caso podríamos calcular cada una de las:
\( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx \) \( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx \)
y proceder a restar los resultados.
La descomposición correcta en suma de dos integrales es ésta. Si:
\( \displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right) \)
entonces resulta que:
\( \displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}-\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right) \)
y por lo tanto:
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx \)
¿Sabes seguir ahora?, ¿que ocurre si pasamos esos complejos a forma polar?
\( \displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x)) \) \( \displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix-1}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x)) \)
y por lo tanto:
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\int_{}^{}Cos^2(ArcTan(x))\ dx=ArcTan(x)+Cte \)
El cálculo de los coeficientes \( A \) y \( B \) se realiza por el método de los coeficientes indeterminados y no asignando valores a la variable. No es correcto eso que haces por varias razones. La ecuación que debes plantear es ésta:
\( \displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}\equiv{}\displaystyle\frac{1}{1-x^2} \)
y la exigencia debe ser que dicha igualdad sea una identidad, es decir, que se satisfaga para todos los puntos del dominio. Dicha condición nos debrá conducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general puede demostrarse (ya lo veremos) que el sistema es siempre compatible y determinado, lo que nos dice que una función racional siempre puede descomponerse en suma de fracciones simples y además que dicha descomposición es única:
\( A(1+x)+B(1-x)\equiv{}1\qquad\longrightarrow{}\qquad A=B=\displaystyle\frac{1}{2} \)
No es lo mismo exigir la igualdad en dos puntos que exigir la identidad de ambas expresiones.
El ejercicio de aplicación número 6 es erróneo, no hagas caso al enunciado. Se me coló a mi el error.
A tus tres últimas preguntas:
I) No. Prueba a calcular el límite: \( \displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(x+h)^p-x^p}{h} \)
II) Si, que yo conozca existen varias, por ejemplo existe un método alternativo (basado en una fórmula de reducción) para resolver integrales racionales con raíces imaginarias múltiples. Y también para resolver integrales de la forma:
\( \displaystyle\int_{}^{}Sen^m(x)Cos^n(x)dx \)
Y me imagino que habrá mas casos. Son método bastante complejos y no se suelen aplicar pero ahí estan por si alguien los necesita.
III) La función subintegral es la que incluimos bajo el signo integral, es decir, la función subintegral de:
\( \displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx \)
es \( f(x) \)
Saludos, Jabato.
