Sección 2.4: Geometría hiperbólica: imagen conforme.Antes de siquiera comentar el texto de
Penrose, me parece conveniente dar una imagen general de las
Geometría no-euclidianas. Quizá un resumen histórico sea lo mejor.
Como los comentarios me han quedado extensos, prefiero ponerlos en
spoiler.
Geometrías plana, elíptica e hiperbólica
En la
Grecia antigua tuvo su auge la
Geometría, la cual
Euclides sistematizó en sus libros llamados
Elementos.
La sistematización de
Euclides es de tipo
axiomático-lógica, lo cual quiere decir que:
- La geometría no cae del "cielo", sino que es posible desarrollarla puramente en base a la lógica y la razón.
- Hay unos elementos no-racionales en la geometría que se toman como punto de partida, que se llaman elementos primitivos. Se describen sus características por medio de proposiciones no demostradas lógicamente, sino tomadas como ciertas sin más, llamadas axiomas.
- Suele existir la idea de que los axiomas son afirmaciones que se obtienen de un modo intuitivo o mágico o inspirado y que nada tienen que ver con la razón, o que la razón no es suficiente para llegar a ellas, y por lo tanto tienen que aceptarse.
Esto en realidad no es así.
El motivo por el cual hay que dar axiomas es de tipo práctico: la misma finitud de la vida humana en todo sentido nos obliga a aceptar un punto de partida de toda teoría, en forma de una lista de afirmaciones supuestas ciertas, y de ahí se hace un desarrollo ulterior.
Sin embargo, los axiomas elegidos a tal efecto son bastante arbitrarios.
No hay unos axiomas que sean más trascendentales que otros.
Finalmente, el sentido de los objetos de una teoría matemática queda descripto en forma abstracta solamente a partir de las propiedades enunciadas en los axiomas y teoremas.
No se puede saber la naturaleza íntima de los objetos matemáticos, viéndolos como objetos reales, sino sólo cómo se relacionan entre sí.
Estas mutuas relaciones se expresan en axiomas y teoremas, y es lo único que puede decirse.
En esto se produce pues un "corte" entre la naturaleza filosófica, o si se quiere, metafísica, de los entes matemáticos, y la matemática como disciplina.
- Euclides hizo el intento de deducir por vía racional muchas de las propiedades intuitivamente evidentes de los objetos geométricos, y en particular esto puede haberlo llevado a la economía de axiomas, que él llamó Postulados.
- Si bien los postulados de Euclides fueron originalmente 5, hoy en día, bajo una correcta y estricta fundamentación lógica, la geometría euclidiana requiere una veintena o más de axiomas, como hizo Hilbert alrededor del 1900.
Una muestra de ello se puede ver en Wikipedia:
Tanto para
Euclides como para
Hilbert, se enunciaba de la misma forma el famoso
Postulado/Axioma de las paralelas.
La negación lógica del
Postulado/Axioma de las paralelas conduce al descubrimiento (
Gauss, Lobachevski, Boliay, otros) de las
geometrías no-euclidianas.
Es claro que el término
no-euclidiano se inventó después del descubrimiento y no antes... lo aclaro porque suelo entrever en algunas "almas" que creen que había algo llamado "geometría no euclidiana" antes de haberse inventado.
En este caso, "descubrir" significó "inventar".Según "san" Wikipedia, lo que en realidad se inventó fueron
geometrías de curvatura constante. Tiempo después
Riemann hizo su teoría en la cual la
curvatura podía variar en cada punto del espacio geométrico considerado.
Todas estas geometrías se denominan, pues
geometrías Riemannianas,
y así, tanto las geometrías no-euclidianas de curvatura constante, como la geometría euclidiana misma, son casos particulares de las geometrías Riemannianas.
Hagamos, pues, la siguiente clasificación:
- Variedades Riemannianas de Curvatura Constante:
- Geometría Euclidiana: Son aquellas en que la curvatura es siempre 0.
- Geometría Elíptica: Son aquellas en que la curvatura es siempre positiva.
- Geometría Hiperbólica: Son aquellas en que la curvatura es siempre negativa.
- Variedades Riemannianas de Curvatura Variable
Ejemplo típico: La superficie descripta por una función continuamente diferenciable de dos variables.
Por ejemplo, cuando se habla de "modelos" de una geometría hiperbólica, lo que se hace es tratar de buscar ejemplos que satisfagan los axiomas de la geometría hiperbólica.
Esto es común cuando se trabaja con un
sistema axiomático.
La existencia de modelos nos asegura la consistencia de la teoría.
Por otro lado, como todas estas geometrías se engloban en el contexto más general de las
variedades riemannianas, es posible dejar de pensar en términos de
axiomas, que es algo incómodo, y podemos pensar ahora en conceptos más fáciles de calcular y manipular: números de curvatura, torsión, ángulos, longitudes, áreas, invariantes algebraicos, etc.
La geometría de Euclides se puede modelar con el espacio vectorial \( \mathbb R^3 \), y ello simplifica muchas cosas.
Lo mismo otras variedades, ya que localmente "se parecen" a espacios euclidianos, y habrá funciones de varias variables qué cómodamente describan la geometría que interesa estudiar.
Habiendo aclarado un poco las cosas, es posible ahora hablar con más confianza de lo que significa una
geometría hiperbólica.
En las
geometrías elíptica e hiperbólica valen los mismos axiomas de la
geometría euclidiana, excepto el de las paralelas, que tiene el siguiente aspecto en cada caso:
- Ax. Paralelas - Geometría Euclidiana. Dadas una recta \( \ell \) en un plano, y un punto \( P \) fuera de \( \ell \), existe una y sólo una recta paralela \( \ell ' \) a \( \ell \) que pasa por \( P \).
- Ax. Paralelas - Geometría Elíptica. Dadas una recta \( \ell \) en un plano, y un punto \( P \) fuera de \( \ell \), no existe una recta paralela \( \ell ' \) a \( \ell \) que pasa por \( P \).
- Ax. Paralelas - Geometría Hiperbólica. Dadas una recta \( \ell \) en un plano, y un punto \( P \) fuera de \( \ell \), existen al menos dos rectas paralelas \( \ell' \) a \( \ell \) que pasan por \( P \).
¿Qué significa ser "paralela"?Quiere decir que las rectas "no se cortan", o sea, "su intersección es un conjunto vacío".
En el
modelo de Escher de
geometría hiperbólica que comenta
Penrose, aparece un círculo dentro del cual "sucede" toda la geometría.
Allí se definen nociones de segmentos, rectas, ángulos, distancias y áreas.
Las "rectas" no lucen realmente rectas, sino como arcos perpendiculares a la circunferencia exterior que bordea el círculo total.
¿Cómo es que se le llama "recta" a algo que no es una línea recta?
Bueno, resulta que con el enfoque
axiomático de la
geometría euclidiana, esto es perfectamente posible, y podemos tener modelos de espacios geométricos que "no lucen" como esperamos que lo hagan intuitivamente.
La
geometría hiperbólica cumple todos los axiomas de la geometría euclidiana, excepto el
postulado/axioma de las paralelas, así que, mientras que no haya necesidad de demostrar resultados basados en el paralelismo de las rectas, cualquier cosa que "funcione como una recta" tendrá el honor de poder llamarse "recta", por más antiintuitivo que nos resulte.
Pienso que lo conveniente será estudiar el ejemplo de
Escher en un tópico aparte.
También me gustaría desarrollar en threads aledaños el tema de los
axiomas de cada tipo de
geometría, así como la teoría de
variedades Riemannianas.
Como estos temas son muy extensos, me he trabado justo en este punto sin poder avanzar.
Pienso que habrá que avanzar de todos modos, rellenando los huecos de a poco.
Así que aquí va una lista de temas que habría que completar:
* Axiomas de la Geometría Euclidiana. Variedades Lineales.
* Axiomas de la Geometría Elíptica. Ejemplos.
* Axiomas de la Geomtríe Hiperbólica. Ejemplos.
* Variedades Riemannianas. (todo)...
Sólo completando estos puntos tiene sentido ir a través del libro de
Penrose.
Ocurre sin embargo que hay temas que pueden postergarse, ya que seguramente vuelven otra vez en capítulos posteriores.
El tema de las geometrías no-euclidianas es fundamental, y tendremos que desarrollarlo plenamente en algún momento.
Por ahora, puede quedar pendiente. Veremos por cuánto tiempo.
