[Isaac_Sandria]

Si \( A_1,...,A_k \)\( \subseteq{\mathbb{R}^n} \) son conjuntos compactos en \( \mathbb{R}^n \), demuestre que \( \bigcup_{i=1}^k A_i \) es compacto.

Alguien que sepa como se podria hacer esa demostración, se que se tiene que demostrar que es cerrado y acotado para que sea compacta

[ani_pascual]

Hola:

Si \( A_1,...,A_k \)\( \subseteq{\mathbb{R}^n} \) son conjuntos compactos en \( \mathbb{R}^n \), demuestre que \( \bigcup_{i=1}^k A_i \) es compacto.

Alguien que sepa como se podria hacer esa demostración, se que se tiene que demostrar que es cerrado y acotado para que sea compacta

La unión finita de cerrados es cerrado, luego \( \bigcup\limits_{i=1}^kA_i \) es cerrado; por otra parte, si no estoy equivocado, cada \( A_i \) es acotado, es decir, existe \( \varepsilon_i>0 \) tal que \( A_i\subset B(0,\varepsilon_i) \), de donde \( \bigcup\limits_{i=1}^kA_i\subset B(0,\max\limits_{1\leq i\leq k}\{\varepsilon_i\}) \), luego es acotado y, en definitiva, es compacto, siendo \( B(0,\varepsilon_i) \) la bola abierta centrada en \( 0\in\mathbb{R}^n \) y radio \( \varepsilon_i>0 \).

Saludos

[geómetracat]

También es cierto que la unión finita de compactos es compacta en espacios topológicos arbitrarios.

Toma un recubrimiento por abiertos \( \{U_i\}_{i\in I} \) de \( \bigcup_{i=1}^k A_i  \). En particular, es un recubrimiento por abiertos de cada \( A_i \), y como los \( A_i \) son compactos podemos encontrar subrecubrimiento finitos para cada \( A_i \). La unión de los \( k \) subrecubrimiento finitos es un subrecubrimiento finito de \( \bigcup_{i=1}^k A_i  \).