[manuel_david]

Buenas noches

Mi profesor dijo en clase, o al menos así lo entendí yo, que los puntos interiores y los puntos frontera son puntos de acumulación a diferencia de los puntos aislados que no lo son.

Yo no estoy de acuerdo... Me explico:

Dicho así da a entender que TODOS los puntos frontera son puntos de acumulación, pero esto no es cierto en cuanto a que (siempre desde mi modesto punto de vista) los puntos aislados son también puntos frontera.

Yo hubiera dicho que son puntos de acumulación los puntos interiores y los puntos frontera que no sean puntos aislados...

Bueno, ya me diréis qué falla de mi razonamiento.

Como siempre, gracias de antemano.

[manuel_david]

Por cierto, yo me hice el diagrama cuya foto adjunto... Porque a lo mejor estoy equivocado...

[Masacroso]

Buenas noches

Mi profesor dijo en clase, o al menos así lo entendí yo, que los puntos interiores y los puntos frontera son puntos de acumulación a diferencia de los puntos aislados que no lo son.

Eso dependerá de la topología, aunque entiendo que aquí se refiere a la topología más usada que es la euclídea en \( \mathbb{R}^n \). Efectivamente en esa topología los puntos aislados de un conjunto son puntos frontera del mismo, ya que no son puntos interiores, ya que para ser punto interior en la topología euclídea es necesario que exista una bola centrada en ese punto que esté contenida en el conjunto, y en un punto aislado eso es imposible.

[ani_pascual]

Hola:

Eso dependerá de la topología, aunque entiendo que aquí se refiere a la topología más usada que es la euclídea en \( \mathbb{R}^n \). Efectivamente en esa topología los puntos aislados de un conjunto son puntos frontera del mismo, ya que no son puntos interiores, ya que para ser punto interior en la topología euclídea es necesario que exista una bola centrada en ese punto que esté contenida en el conjunto, y en un punto aislado eso es imposible.

Si no es mucho pedir ... ¿se podría mover este mensaje a la sección de topología? 
Saludos

[Masacroso]

Hola:

Eso dependerá de la topología, aunque entiendo que aquí se refiere a la topología más usada que es la euclídea en \( \mathbb{R}^n \). Efectivamente en esa topología los puntos aislados de un conjunto son puntos frontera del mismo, ya que no son puntos interiores, ya que para ser punto interior en la topología euclídea es necesario que exista una bola centrada en ese punto que esté contenida en el conjunto, y en un punto aislado eso es imposible.

Si no es mucho pedir ... ¿se podría mover este mensaje a la sección de topología? 
Saludos

Cierto, ahora lo pongo ahí. Gracias por avisar.

[manuel_david]

Perdón, es que esto es parte del temario de Cálculo 2 de mi universidad, no es la asignatura de topología propiamente...

Pido disculpas.

[ani_pascual]

Hola:

Perdón, es que esto es parte del temario de Cálculo 2 de mi universidad, no es la asignatura de topología propiamente...

Pido disculpas.

No pasa nada, tranquilo. He pedido moverlo a esa sección para poder localizar el mensaje más fácilmente, pues me interesa.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Mi profesor dijo en clase, o al menos así lo entendí yo, que los puntos interiores y los puntos frontera son puntos de acumulación a diferencia de los puntos aislados que no lo son.

Después de reflexionar un poco sobre tus dudas, llego a la misma conclusión que Masacroso. Todo depende de la topología que se considere. Por ejemplo, tomemos el espacio topológico de Sierpinski, es decir, un conjunto con solo dos elementos, \( X=\{a,b\} \) dotado de la topología de Sierpinski, \( \tau_S=\{\emptyset,X,\{a\}\} \) y llamemos \( A=\{a\} \) y \( B=\{b\} \); resulta que \( a \) es un punto interior a \( A,\, \left(a\in\,\,\stackrel{\circ}{A}\right) \), ya que existe \( \{a\}\in\tau_S \) con \( a\in \{a\}\subseteq A \). Sin embargo, \( a \) NO es un punto de acumulación de \( A \), dado que existe un entorno de \( a \) en \( (X,\tau_S) \), precisamente, \( \{a\}\in\tau_S \) tal que \( (\{a\}\setminus \{a\})\cap A=\emptyset \).

Dicho así da a entender que TODOS los puntos frontera son puntos de acumulación, pero esto no es cierto en cuanto a que (siempre desde mi modesto punto de vista) los puntos aislados son también puntos frontera.

En general, no es cierto que todo punto aislado sea un punto frontera. Por ejemplo, es cierto que \( a\in A \) es un punto aislado, pues \( \{a\}\in\tau_S \) cumple que \( a\in\{a\} \) y además \( (\{a\}\setminus\{a\})\cap A=\emptyset \), sin embargo, \( a \) NO es un punto frontera de \( A \), \( (a\notin\partial A \)), ya que \( a\notin \overline{A}\cap\overline{X\setminus A}=X\cap \overline{B}=X\cap B=B \).
Por otra parte, resulta que \( b\in B \) es un punto frontera de \( B \), ya que \( b\in B=\overline{B}\cap\overline{X\setminus B} \); en efecto, \( b\in B=\overline{B} \), ya que \( \{b\}\in {\cal C}_{\tau_S} \), (es un cerrado); además, \( b\in X=\overline{A}=\overline{X\setminus B} \)  en definitiva, \( b\in\partial B \). Sin embargo, \( b \) NO es un punto de acumulación de \( B \), ya que existe un entorno de \( b \), el único que tiene, \( X\in\tau_S \), tal que \( (X\setminus\{b\})\cap B=\emptyset \).
Saludos