Buenas tardes a todos.
Estoy haciendo un ejercicio de un parcial que dice así:
Sea \( \left\{{f_n}\right\} \) una sucesión de funciones definidas en un conjunto \( D \subset{} \mathbb{R} \) que converge uniformemente a cierta función \( f \) continua. Consideremos \( \left\{{x_n}\right\} \), \( x_n \in{} D \) tal que \( x_n \rightarrow{} x \).
Probar que \( f_n(x_n) \rightarrow{} f(x) \).
Para demostrarlo pensaba que como:
1) \( f_n(x) \rightarrow{} f(x) \) en \( D \) entonces como \( x_n \in{} D \), \( d(f_n(x_n),f(x_n)) < \frac{\epsilon}{2} \)
2) \( x_n \rightarrow{} x \) en \( D \) y \( f \) es continua en \( D \) entonces \( d(f(x_n),f(x)) < \frac{\epsilon}{2} \)
En conclusión por 1, 2 y utilizando la desigualdad triangular:
\( d(f_n(x_n),f(x)) \leq{} d(f(x_n),f(x)) + d(f_n(x_n),f(x_n)) < d(f(x_n),f(x)) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \)
\( d(f_n(x_n),f(x)) < \epsilon \)
En conclusión \( f_n(x_n) \rightarrow{} f(x) \)
Esta bien la demostración? Desde ya gracias por leer!!
edición: Me olvide agregar que \( d(f_n(x_n),f(x_n)) < \frac{\epsilon}{2} \) se cumple para un \( N_1 \in{\mathbb{N}} \) y \( d(f(x_n),f(x)) < \frac{\epsilon}{2} \) para un \( N_2 \in{\mathbb{N}} \) por lo tanto \( d(f_n(x_n),f(x)) < \epsilon \) tomando \( N_3 = max(N_1,N_2) \)
