[blnrcc]

Hola! Tengo el teorema que adjunto a continuación.



Vengo a pedirles ayuda, no entiendo por qué afirma que:

1) Si \( A\subset{C}\Rightarrow{\overline{A}\subset{\overline{C}}} \). ¿Esto vale siempre? Seguro es una proposición que me está faltando.
2) ¿Por qué se puede afirmar que \( \overline{C} \) y D son disjuntos?

Espero sus respuestas, muchas gracias!

[geómetracat]

Hola! Tengo el teorema que adjunto a continuación. Vengo a pedirles ayuda, no entiendo por qué afirma que:

1) Si \( A\subset{C}\Rightarrow{\overline{A}\subset{\overline{C}}} \). ¿Esto vale siempre? Seguro es una proposición que me está faltando.

Sí. Recuerda que \[ \overline{A} \] es el cerrado más pequeño que contiene a \[ A \]. Si \[ A \subseteq C \], tienes que \[ A \subseteq C \subseteq \overline{C} \], y como \[ \overline{C} \] es cerrado, debe ser \[ \overline{A} \subseteq \overline{C} \].

2) ¿Por qué se puede afirmar que \( \overline{C} \) y D son disjuntos?

Como \[ C,D \] forman una separación de \[ B \], tienes que \[ C \] es cerrado en \[ B \], luego \[ \overline{C} \cap B = C \] (que \[ C \] sea cerrado en \[ B \] quiere decir que hay un cerrado \[ C' \] en \[ X \] tal que \[ C' \cap B = C \], pero es fácil ver que entonces también \[ \overline{C} \cap B = C \]). Luego, \[ \overline{C} \cap D = \overline{C} \cap (D \cap B) = (\overline{C} \cap B) \cap D = C \cap D = \emptyset \], donde he usado que \[ D \subseteq B \] (luego \[ D \cap B = D \]) y que \[ C, D \] son una separación de \[ B \] (en particular, \[ C \cap D = \emptyset \]).

[Isaac_Sandria]

1) La afirmación \( A\subset{C}\Longrightarrow{A\subset{\overline{C}}} \) es verdadera en el contexto de la topología y es una propiedad de los conjuntos. Si A es un subconjunto de C, entonces A también es un subconjunto del cierre de C, denotado por \( \overline{C} \), porque \( \overline{C} \) incluye todos los puntos de C más sus puntos límite. Es decir,\( \overline{C} \) es el conjunto C unido con su frontera. Entonces, cualquier punto que esté en A está necesariamente también en \( \overline{C} \).

2) Se puede afirmar que C y D son disjuntos porque la hipótesis es que \( B=C\cup{D} \) es una separación de B. Una separación de un conjunto en el contexto topológico significa que C y D son abiertos en la subtopología de B, \( C\cap{D}=\emptyset  \) , \( C\cap{\overline{D}}=\emptyset \) así como \( \overline{C}\cap{D}=\emptyset \). Esto significa que no hay puntos en común entre C y D, lo que los hace disjuntos.

En el contexto de este teorema, la idea es que si agregas puntos límite a un conjunto conexo A, el nuevo conjunto B seguirá siendo conexo. La desconexión no puede ocurrir porque los puntos límite que se añaden al pasar de A a B no pueden actuar como puntos de separación entre C y D debido a que cualquier punto límite estaría en el cierre de C (y por lo tanto no en D), y viceversa, lo que mantendría la conexión entre cualquier punto de A y estos puntos límite.