[africamer]

Debo calcular el límite (en caso de existir) de la sucesión

\( x_1 = 1 , x_2 = 1\\ 1/x_{n+2} = 1/x_{n+1} + 1/x_n \)
para n = 1, 2, 3...
El recurso de calcular el límite reemplazando \( x_n = L \) no sirve en este caso porque se cancela L y no obtengo información. Necesito ayuda para acotar, demostrar que converge y hallar el límite.

[Pie]

Si no me equivoco va quedando:

\[ x_n = 1,1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5}... \]

Es decir, en el numerador te queda siempre \( 1 \) y en el denominador la suma de los dos anteriores (la sucesión de Fibonacci), con lo que la sucesión debe converger a \( 0 \).

Pero no sé si basta con eso o os piden demostrarlo de alguna otra forma (si es que no me lie con nada  )..

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Si no me equivoco va quedando:

\[ x_n = 1,1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5}... \]

Es decir, en el numerador te queda siempre \( 1 \) y en el denominador la suma de los dos anteriores (la sucesión de Fibonacci), con lo que la sucesión debe converger a \( 0 \).

Pero no sé si basta con eso o os piden demostrarlo de alguna otra forma (si es que no me lie con nada  )..

Estoy de acuerdo,  parece que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}=\{F_n\} \), es decir, la sucesión de Fibonacci, \( 1,1,2,3,5,8,13,\ldots \), por tanto \( \lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{F_n}=0 \)
Saludos

[africamer]

Gracias, quizas alcance con usar la suceción de Fibonacci.

[Eren]

Si quieres ser más riguroso en la conclusión de que el límite es cero, puedes usar inducción matemática para mostrar que, en efecto, \( 1 / x_n = F_n \), donde \( (F_n)_{n=1}^\infty \) es la sucesión de Fibonacci: el caso base de la inducción es cierta, pues \( 1/x_1 = 1 = F_1 \) y \( 1/x_2 = 1 = F_2 \). Suponiendo que la relación se cumple para todos los naturales menores que \( n > 2 \), tenemos que

\( 1 / x_n = 1/x_{n-1} + 1/x_{n-2} = F_{n-1} + F_{n-2} = F_n \).

Esto prueba por inducción que la observación de Pie es completamente cierta.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 O directamente sin dar supuesto nada sobre Fibonnacci. Si llamas \( y_n=1/x_n \), se tiene que:

\( y_1=1,\quad y_2=1,\quad y_{n+2}=y_n+y_{n-1} \)

 Y por inducción (fuerte) se puede ver que para todo \( n\in \Bbb N \), \( y_n\geq n-1 \):

Spoiler

- Para \( n=1 \), \( n=2 \), \( n=3 \) es cierto ya que \( y_1=1\geq 1-1 \), \( y_2=1\geq 2-1 \), \( y_3=2\geq 3-1 \):

 - Suponemos cierto para \( n\geq 3 \) y lo probamos para \( n+1 \):

\( y_{n+1}\geq y_n+y_{n-1}\geq n-1+n-2=n+(n-3)\geq n=(n+1)-1 \).

[cerrar]

 Entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}y_n\geq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}n-1=+\infty \). Es decir \( y_n\to +\infty \) y por tanto \( x_n=1/y_n\to 0. \)

Saludos,