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SOBRE LA SUMA DE DOS POTENCIAS DEL MISMO EXPONENTE
¿EXISTE O NO UNA DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL UTF?
(UN ESTUDIO BREVE)

PROLOGO

¿Se puede demostrar el último teorema de Fermat  o UTF (por sus siglas en español) por la vía sencilla?

Esta es la pregunta que se han hecho matemáticos y aficionados. Y a través de todos estos años, ha estado vigente la expectativa de que tal demostración pueda estar al alcance de cualquier mortal, con la suficiente capacidad creativa e intelectiva (por supuesto).

Ante esta aparente posibilidad, varios aficionados se han dado a la tarea de encontrar la supuesta demostración maravillosa del que escribió, en una inocente nota, el abogado francés Pierre de Fermat. Donde “maravillosa” se traduce al lenguaje popular como “sencilla”.

El objetivo que persigue el autor de este breve estudio titulado: “sobre la suma de dos potencias del mismo exponente, ¿existe o no una demostración sencilla del UTF?”; no es desalentar, en modo alguno, las investigaciones que se puedan hacer con casos particulares. Por ejemplo, para las ecuaciones cúbicas, quintas, etc.

\( a^3+b^3=c^3 \)        ,        \( a^5+b^5=c^5 \)       ,       \( a^7+b^7=c^7 \)

Sin embargo, cuando se trata de abordar el caso general la situación es diferente. Toda vez que intervienen más elementos a analizar y las formas algebraicas se tornan cada vez más complejas.

Este breve estudio, tiene por finalidad, en cambio, orientar a algunos incautos de no abordar el caso general con las precarias herramientas que ofrecen el álgebra básica, la aritmética elemental, o incluso, la geometría analítica.Y para lograr este objetivo, el autor propone analizar el siguiente objeto matemático,

                                               

\( f_n(X,Y)=X^n+Y^n \)

que es una función entera de la suma de dos potencias que exhiben igual exponente.

Por eso, a lo largo de esta travesía,

1) en una primera parte, analizaremos algunas ecuaciones diofánticas que puedan arrojar luz al misterio de la suma de dos potencias. De donde, como aplicación inmediata, podamos determinar intuitivamente los obstáculos inherentes cuando se aborda el UTF con argumentos y métodos que se pueden catalogar como sencillos o fáciles de comprender.

2) En una segunda parte, el autor propone analizar las superficies del tipo,

\( x^n+y^n=z^m \)

Y como caso especial, se estudian ciertas curvas de nivel (cuando m=n) que se exhiben en los planos paralelos al plano XY, del sistema cartesiano en tres dimensiones. A estas curvas el autor denomina “ecuaciones de Fermat”,

\( x^n+y^n=k^n \)

donde k>0 es un número entero cualquiera.

3) En una tercera parte, se estudian las funciones racionales del tipo:

\( Q_n(X,Y)=\displaystyle\frac{X^n+Y^n}{X+Y} \)

que nos ayudan a comprender mejor que ocurre con la suma de dos potencias del mismo exponente.

4) En una cuarta parte del trabajo, el autor estudia las características generales de ciertas funciones especiales (las funciones factorizables en el sentido épsilon y las funciones racionales RHO). Dichas funciones aún no se han estudiado en el ámbito de la matemática convencional; y por tanto, es una propuesta del autor. Desde luego, en esta cuarta parte, no está demás advertir al lector que no considere con demasiada seriedad lo que aquí se exponga. Aunque basado en argumentos válidos, esta cuarta parte todavía puede ser discutida e incluso rechazada (por carecer de sólidos fundamentos teóricos).

Dicho esto, solo me queda advertir al lector, que para comprender fluidamente el contenido de este breve estudio; necesita tener conocimientos elementales de: algebra básica, teoría de números (nivel básico), cálculo de superficies (conceptos fundamentales), nociones de variable compleja y teoría matricial (nivel básico).

(El autor)

ACLARACIÓN NECESARIA

La presente, y las posteriores entregas, no pretenden herir suceptibilidades de nadie. Si algún lector se siente aludido por algún comentario que pueda interpretarse como negativo, pido anteladamente las disculpas pertinentes. Insto, al amable lector, que este material se lea con espíritu crítico y autocrítico.

Por otro lado, a veces nos sentimos felices intentando resolver cuestiones como el UTF por nuestros propios medios. Si el lector se siente satisfecho haciendo eso, el autor no está en condiciones de decir que eso sea malo o bueno. Rescato las palabras de PabloN que aunque lo dijo en otro contexto, también se puede aplicar aquí:

“nadie es quién para desincentivar a una persona a hacer las actividades que le gustan, y que no causan ningún perjuicio a terceros” . Mencionado en :

TEMA:Biyección real: el numerable de los números reales
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=60507.msg242167;topicseen#msg242167

   



Saludos...

 

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PRIMERA PARTE: DEVELANDO LOS SECRETOS DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Capítulo 1
INTRODUCCIÓN

El último teorema de Fermat (UTF) ha suscitado interés en toda clase de público. Desde estudiantes hasta profesionales que se dedican a distintas actividades.

Para comprender mejor por qué el UTF causa tanto interés, vamos a indagar el génesis de este fenómeno.


1.1. LA “ECUACIÓN” DE LA DISCORDIA

Aproximadamente en el siglo III de nuestra era, Diofanto de Alejandría escribió un libro titulado “Arithmetica”, que constaba de trece libros.

En el transcurso de los años, sólo se encontraron seis. Este contenido, que se pudo rescatar fue traducido al alemán por Guilielmus Xylander (nombre en latín de Wilhelm Holtzman) y publicado en 1575.

La obra de Diofanto “no es una obra de carácter teórico, sino una colección de problemas”. Pero, lo más sobresaliente es que en ella se plantean las llamadas ecuaciones diofánticas. O sea, ecuaciones en que se pide que las soluciones sean números enteros.

Los números enteros se corresponden con los elementos de la siguiente sucesión,

\( ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \)          (1.1)

   

pudiéndose reconocer los números enteros negativos, los números enteros positivos y el cero. Y donde los puntos suspensivos indican que los números se pueden extender indefinidamente.

ECUACIÓN DIOFÁNTICA

Spoiler

1) Una ECUACIÓN DIOFÁNTICA (O DIOFANTINA), en el sentido moderno, es aquella ecuación algebraica donde intervienen cantidades conocidas que son números enteros (a veces, pueden ser números racionales) y cantidades desconocidas a las que llamaremos indeterminadas o incógnitas. El consenso general es que la ecuación algebraica al que nos referimos tenga “forma polinómica”. NOTA: Aunque no existe un consenso generalizado al respecto, nosotros representaremos las incógnitas con las últimas letras del alfabeto latino (U, V, W, x, y, z). Por ejemplo:

\( X^2+5Y^2=Z^3 \)              \(  3uvw=u^3+v^3+w^3 \)

2) Cuando se ha planteado una ecuación diofántica, el objetivo del problema consiste en encontrar valores enteros para las incógnitas tal que la ecuación se convierta en una igualdad.

Las primeras letras del alfabeto (a, b, c, A, B, C, ...) las emplearemos para denotar cantidades previamente conocidas. Las letras intermedias (l, m, n,...) representarán exponentes, índices o números primos (p. ej. p, q). A las letras s , t llamaremos PARÁMETROS (cuyo concepto y aplicación se ampliará en la parte 2 de este breve estudio).

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                                     ;       

NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIOFÁNTICA

Spoiler

3) La SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIOFÁNTICA CON “m” INCOGNITAS es la m-upla de números enteros \( x_1, x_2, x_3, ..., x_m \), que remplazadas en la ecuación la convierten en igualdad.

Por ejemplo, las soluciones escritas en la forma (x, y, z) se llaman ternas.  Las siguientes ternas: (0, 0, 0); (3, 4, 5); (5, 12, 13), son SOLUCIONES PARTICULARES de la ecuación pitagórica.

\( x^2+y^2=z^2 \)         

         
                                                       
4) Si somos capaces de determinar todas y cada una de las soluciones de una ecuación diofántica, entonces diremos que hemos encontrado la solución general de dicha ecuación diofántica.

Se pueden dar dos casos de soluciones generales: a) Las soluciones son infinitas y b) las soluciones son finitas.

Generalmente, cuando las soluciones son infinitas es posible expresar cada una de las variables en función de otras variables independientes que se llaman parámetros. Por ejemplo, sea la ecuación pitagórica, (1.2),

\( x^2+y^2=z^2 \)

Entonces, la solución general de esta ecuación diofántica puede expresarse en la forma paramétrica siguiente:

\( x=k(s^2-t^2) \)
\( y=k(2st) \)
\( z=k(s^2+t^2) \)

 

Cuando las soluciones son finitas, puede ocurrir uno de dos casos: a) La solución es única, en ese caso a dicha solución llamaremos solución singular de la ecuación diofántica. b) Existe más de una solución, en ese caso diremos que la ecuación diofántica tiene soluciones múltiples.

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Sin embargo, en el libro de Diofanto, cuando se plantean dichas ecuaciones diofánticas se piden soluciones racionales.

Según algunos estudiosos (de Diofanto y las ecuaciones diofánticas), ese hecho es lo más sorprendente; es decir, Diofanto no se sujeta a la comodidad que pueden ofrecer los números enteros, sino que extiende el dominio de los números (o más bien generaliza) a los números racionales. Es decir, números de la forma fraccionaria,

\( \displaystyle\frac{p}{q} \)   ,    \( q\neq{0} \)       (1.2)

 

donde \( p \)   y   \( q \)   son números enteros.

En 1621, aparece una edición comentada de la “Arithmética”, de Bachet de Méziriac. Uno de cuyos ejemplares llega a las manos de Pierre de Fermat. El resto de la historia es por demás conocida.

Sabemos que Fermat se plantea la ecuación diofántica,

\( x^n+y^n=z^n \)          (1.3)

           

donde \( n\geq{3} \)   y   \( xyz\neq{0} \).

Y escribe en el margen de su ejemplar de la “Arithmética” que ha sido capaz de encontrar una demostración realmente admirable ("DEMONSTRATIONEM MIRABILEM": demostración maravillosa) de que dicha ecuación no tiene soluciones enteras. Es pues, esa aseveración la que convence a mucha gente de que sí sea posible abordar, este caso general, con la matemática al que tuvo acceso este célebre abogado y matemático francés,  Pierre de Fermat.

Pero, dado que no se ha encontrado ni rastros de la supuesta demostración, es razonable pensar que Fermat nos habría jugado una broma, sin proponérselo conscientemente. Si se analiza desde la psicología, Fermat ha planteado un enigma, un acertijo; probablemente para jugar con la psiquis de quien poseyera en el futuro dicho libro.

Sabemos que la demostración de Wiles requiere potentes métodos inherentes al algebra abstracta. Y aún después de 1995, siguen proliferando libros basados en las técnicas que había utilizado el profesor Wiles. Con este antecedente, parece poco probable que el francés P. de Fermat haya dado con una demostración. Si es que lo hizo, es casi seguro que estaba incompleto o contenía errores graves.

Sin embargo, lo más probable, parece ser, que él sí pudo resolver un par de casos particulares y por inducción supuso que se debería cumplir en el caso general.


(continuará…)

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CONTINUACIÓN...

Además, cuando Fermat solía descubrir algo; llámese una fórmula, un método o simplemente deseaba plantear un problema, frecuentemente comunicaba sus descubrimientos a algún amigo matemático a través de cartas. Pero en el caso de este último teorema (UTF) nunca lo hizo conocer a nadie. Eso nos hace sospechar que tal vez Fermat descubrió su error, pero se olvidó de eliminar su nota; o simplemente, no lo quiso hacer pensando que jamás nadie se enteraría de la verdad o falsedad de dicha afirmación (ya que ese libro siempre estaría con él).

Esa es la parte negativa, con respecto a Fermat. Sin embargo, tiene los siguientes puntos a su favor que extraemos del libro de Eric Temple Bell, “Los grandes matemáticos”:

1) Cuando Fermat hizo una falsa conjetura acerca de la naturaleza de ciertos números primos (que se conocen como números de Fermat), Bell escribe:

“Fermat hizo erróneas conjeturas, pero jamás pretendió haber probado su conjetura” (véase pag.11, descargando el archivo FERMAT (E.T.Bell, Los grandes matemáticos, cap. 4) en la parte inferior de este post).

Es decir, jamás dijo que él había demostrado que tales números son números primos. Y por tanto, Fermat no es un mentiroso.

NÚMEROS DE FERMAT

Spoiler

Son aquellos que tienen la forma:

\( F_n=2^2^n+1 \)

Fermat conjeturó que todos los números que tienen esta forma debían ser números primos.

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2) Bell sostiene que Fermat se caracterizaba por ser honrado, sobre todo cuando hacia afirmaciones respecto a un teorema. Pues todas sus afirmaciones se han probado luego que eran verdaderas… Bell utiliza estas palabras:

“Cuando Fermat afirmó tener una prueba, esa prueba fue más tarde encontrada. Y así ocurrió para todas sus afirmaciones positivas con la única excepción de la al parecer simple solución de su último teorema, que, los matemáticos se han esforzado por encontrar durante casi 300 años. Siempre que Fermat afirmó que había probado algo, luego se ha confirmado la exactitud, excepto para ese caso en que no ha sido encontrada la prueba. Su honradez escrupulosa y su penetración sin rival justifican que muchos, aunque no todos, acepten su afirmación de que poseía la demostración de su teorema.” (PAG. 16)

3) Bell finaliza con estas palabras:

Después de todo lo que se ha dicho, ¿es posible que se haya engañado? Un gran aritmético, Gauss, vota en contra de Fermat. Sin embargo, la zorra que no podía alcanzar las uvas afirmó que estaban verdes. Otros votaron a su favor. Fermat era un matemático de primera fila, un hombre de impecable honradez y un aritmético que no reconoce superior en la historia.

De este modo, esta inocente nota, que se puede traducir en la siguiente ecuación:

\( x^n+y^n=z^n \)    donde   \( n\geq{3} \)   y  \( xyz\neq{0} \)

Se convierte aún en nuestros días en la manzana, ¡no!. En la “ecuación" de la discordia…

CURIOSIDAD: ¿POR QUÉ GAUSS NUNCA SE DEDICÓ AL UTF?

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En el capítulo dedicado al gran matemático Gauss, “el príncipe de la matemática”, Bell escribe las siguientes palabras en relación al UTF.

Antes de dar por terminado este campo de actividades de Gauss, podemos preguntarnos por qué jamás se dedicó al último teorema de Fermat. El mismo nos da la respuesta. La Academia de París propuso, en 1816, como premio para el período 1816-18, la prueba (o la negación) del teorema. El 7 de marzo de 1816 Olbers, desde Bremen, incitó a Gauss a presentarse: "Me parece justo, querido Gauss, que os ocupéis, de ello"; pero el "querido Gauss" resistió a la tentación. Al contestar, dos meses más tarde, expuso su opinión acerca del último teorema de Fermat. "Os estoy muy obligado por vuestras noticias respecto al premio en París pero confieso que el teorema de Fermat como proposición aislada tiene muy escaso interés para mí, pues fácilmente puedo encontrar una multitud de proposiciones semejantes que no es posible probar ni desechar".

Gauss sigue diciendo que la cuestión le ha llevado a recordar algunas de sus viejas ideas que tienen aplicación en la Aritmética superior. Sin duda se refiere a la teoría de los números algebraicos (aludida en capítulos anteriores), que Kummer, Dedekind y Kronecker desarrollaron independientemente. Pero la teoría en que Gauss pensaba es una de esas cosas, según declara, donde es imposible prever qué progresos se harán hacia una meta distante, que sólo se aprecia confusamente a través de la oscuridad. Para triunfar en una tarea tan difícil era necesario ser guiado por una buena estrella, y las circunstancias en que entonces se hallaba Gauss, con sus numerosas ocupaciones, no eran tan adecuadas para meditaciones de ese estilo, como lo habían sido "en los afortunados años 1796-1798, cuando estableció los puntos principales de las Disquisitiones Arithmeticae. Aun estoy convencido de que si soy tan feliz como espero, y consigo dar algunos de los pasos principales en esa teoría, el teorema de Fermat aparecerá tan sólo como uno de los corolarios menos interesantes".
(Extractado del capítulo 14 del libro de E.T.Bell, Los grandes matemáticos)

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1.2. ¡PERO, LA CULPA DE TODO … LA TIENE PITÁGORAS!

Uno de los teoremas matemáticos más conocidos en nuestro planeta es el “teorema de Pitágoras”. Es cierto que muy pocas personas saben demostrarla, aunque es evidente que la mayoría tiene una idea sobre su enunciado.

Este teorema establece que:

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b)”.

\( c^2=a^2+b^2 \)        (1.4)

Una relación sencilla y a la vez útil y efectiva que aparece en muchos problemas de ciencias e ingeniería, y que no deja de ser cautivante.

Pero, más allá de las aplicaciones prácticas, el teorema de Pitágoras nos ofrece una interesante curiosidad. Por ejemplo, dado el triángulo cuyos catetos son: a=3, b=4; se obtiene el valor c=5. Es decir, todos éstos son números enteros.

\( 5^2=3^2+4^2 \)

En el siglo III, Diofanto de Alejandría se preguntaba si este era el único caso para los que se obtiene valores enteros. Pero, pronto descubrió que había infinitas ternas de números enteros y positivos que verificaban dicha propiedad. Por ejemplo,

\( 17^2=8^2+15^2 \)  ó  \( 13^2=5^2+12^2 \)

Llamemos a los valores indeterminados de x, y, z “incógnitas” de la ecuación:

\( x^2+y^2=z^2 \)

Spoiler

Una ecuación así, donde se trata de obtener valores enteros de las incógnitas se llama “ecuación diofántica”.

En este caso específico, la anterior ecuación se llama una “ecuación pitagórica”, en honor al teorema de Pitágoras.

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Conjuncionados así estos dos elementos: 1) el teorema de Pitágoras y 2) la posibilidad de encontrar soluciones enteras de la ecuación obtenida; de esta curiosidad, surge (en las mentes de algunas personas) el interés por conocer qué otros números pueden obedecer a esta ley: O sea, que la suma de dos cuadrados enteros es otro cuadrado entero.

Así, del interés nace la necesidad de experimentar. Es entonces, cuando desde jóvenes comenzamos a experimentar con este tipo de “curiosidades matemáticas”. Pero, en ese momento, solo contamos con una herramienta: “el álgebra básica”.

Haciendo uso de dicha herramienta y con un poco de conocimiento sobre las propiedades de los números enteros, por ejemplo la divisibilidad, somos capaces de resolver el enigma casi de manera fácil.

MEMORIAS DE UN ESTUDIANTE

Spoiler

Observe el siguiente razonamiento,

Sea: \( z=y+h \)

Reemplazando en la ecuación pitagórica, resulta,

\( x^2+y^2=z^2 \)\( \Longrightarrow{x^2+y^2=(y+h)^2} \)

desarrollando...

\( x^2+y^2=y^2+2yh+h^2 \)\( \Longrightarrow{x^2=2yh+h^2} \)

\( y=\displaystyle\frac{x^2-h^2}{2h} \)

Y desde aquí, el estudiante comienza a "filosofar": Se puede dar dos casos que x y h sean ambos pares, o que sean, ambos impares...(etc).

En algún momento de este proceso "heuristico" llegará a descubrir algunos valores que coinciden con lo que se ha propuesto.

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Así, armados de nuestro reciente progreso, en algún momento, tarde o temprano, nos preguntaremos si somos capaces de encontrar valores enteros para la ecuación,

\( x^3+y^3=z^3 \)

Y si ese no fue el camino que nos llevó a Fermat, no importa. El asunto es que una vez desafiados por el UTF, nos sentimos capaces de demostrarlo.

Hemos experimentado así, un fenómeno que suelen utilizar con sus estudiantes, los docentes capaces. Un fenómeno pedagógico que consiste en proporcionar al estudiante dosis adecuadas de ejercicios y problemas que él (o ella) mismos/as sean capaces de resolver. Pues una vez han adquirido confianza, ya están preparados para resolver otros problemas más difíciles.

Solo que en este caso, el UTF es la cúspide de todos los otros problemas intermedios. Es decir, el matemático aficionado, está tentado a resolver el problema más difícil cuando todavía no tiene los recursos necesarios para resolver dicho problema.

Si reflexionamos al respecto, debemos ver al UTF como un problema resoluble, siempre y cuando estemos adecuadamente equipados con la teoría y las técnicas matemáticas necesarias. ¿Esto niega la posibilidad de que se pueda demostrar el UTF de forma sencilla?, de ningún modo; solo que a medida que comprendemos mejor la naturaleza y el comportamiento de los números nos damos cuenta que la resolución por la vía sencilla podría resultar cada vez más improbable.

(continuará)

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1.3. ¡ SOBRE ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES !

Toda vez que el UTF ha sido demostrado, resulta evidente que si tomamos cualquier combinación de números enteros; de hecho, si tomamos cualquier combinación de números racionales \( a\neq{0} \)  y  \( b\neq{0} \), entonces la siguiente expresión (\( n\geq{3} \)),

\( c=\sqrt[n]{a^n+b^n} \)          (1.5)

es un número irracional.

Un número irracional es aquel que no puede ser expresado como cociente de dos números. Y por tanto, posee infinitas cifras decimales.

Los números irracionales tienen su historia, y parece que han causado más de un dolor de cabeza a los matemáticos de la antigüedad.

Una de estas referencias oscuras se puede remontar al descubrimiento del famosísimo teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, la medida del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. O sea, como ya habíamos visto,

       

\( c^2=a^2+b^2 \)

Se cree que los miembros de una famosa secta, llamada de los “pitagóricos”, ya conocían esta relación.

Esta hermandad de pitagóricos tenía profundo respeto hacia los números racionales y sus maravillosas propiedades; y creían que cualquier cosa, cualquier fenómeno, podía explicarse en base a estos números (o sea, los números: ..., \( -\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{5}{8} \), ..., etc.; pues, para ellos, fuera de estos no era concebible ningún otro). Y cualquiera que diga lo contrario sería expulsado de ella, o algo peor.

LA HISTORIA DE HIPPASUS DE METAPONTO

Spoiler

Se cuenta que en una ocasión, un joven pitagórico, Hippasus de Metaponto, se entretuvo con unos triángulos rectángulos.

Consideremos un cuadrado de lado igual a: 1, dividamos en dos partes dicho cuadrado cortándolo por la diagonal, (tendremos dos triángulos rectángulos de la misma forma y tamaño)

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, a uno de los triángulos , tenemos con \( a=1 \), \( b=1 \),

\( c^2=1^2+1^2 \)   \( \Rightarrow{} \)    \( c^2=2 \)           (1)

 

Si fuéramos pitágoricos, debemos sospechar que el número \( c \) debería tener la forma:\( c=\displaystyle\frac{p}{q} \) (pues \( c \) no puede ser entero).

Si además suponemos que \( p \) y \( q \) son primos entre sí (o sea, una fracción simplificada al máximo).

De acuerdo con (1), tenemos:

\( (\displaystyle\frac{p}{q})^2=2 \)    \( \Rightarrow{} \)    \( p^2=2q^2 \)     (2)

Vemos pues, que \( p \) debe ser un número par, (ya que se puede demostrar que “ el cuadrado de cualquier número par, también es par...! ”)

Dado que \( p \) es par se puede expresar como:  \( p=2m \)       (3)

Entonces, reemplazando (3) en el resultado anterior (2): \( (2m)^2=2q^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( 4m^2=2q^2 \)

de donde:  \( 2m^2=q^2 \) . O sea,  \( q^2=2m^2 \)

De aquí, \( q \) es también un número par. De modo que, \( p \) y \( q \) tienen un factor común: 2. Esto es contradictorio, pues hemos supuesto que \( p \) y \( q \) son números primos entre sí. Luego, esto nos permite concluir que, no hay número racional cuyo cuadrado sea 2.

Aunque no sabemos exactamente qué método empleo, el joven Hippasus, llegó a una conclusión similar y seguramente con una demostración contundente.

Pero, cuando esto llegó al conocimiento de Pitágoras, el fundador de los “pitagóricos”, se dio cuenta que haría peligrar no sólo su reputación, sino algo más; pues la doctrina de la perfección de los números racionales estaba demasiado enraizada y la demostración de Hippasus amenazaba con destruir los propios cimientos de la secta pitagórica.

Entonces, Pitágoras decidió acallar al jovén, pero no con la expulsión de la secta. Pues, existía el riesgo de que éste enseñara su método a más gente. Así que, Pitágoras lo sentenció a morir ahogado. Cruel final para alguién que tenía la razón ...

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Así como sucedió con los números irracionales, las expresiones radicales han causado otro tipo de dolor de cabeza a los matemáticos del siglo XIX, cuando se introdujeron términos misteriosos como: el número imaginario.

Un número que se define:

\( i=\sqrt[ ]{-1} \)        (1.6)

y que está ligado a la imposibilidad de resolverse la ecuación: \( x^2+1=0 \) para los números reales.

Así pues, en todas las ocasiones en que ha aparecido el número irracional o las expresiones con radicales, esto ha constituido (en su debido tiempo y espacio) un gran desafío para los matemáticos.

LOS DOLORES DE CABEZA EN LAS ESCUELAS SECUNDARIAS

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De hecho, el mismo estudiante de las escuelas secundarias se tiene que enfrentar a dichos desafíos cuando resuelve problemas que involucran radicales.

Consideremos, por ejemplo, la ecuación en radicales,

\( \sqrt[ ]{x+11+5\sqrt[ ]{2x-3}}+\sqrt[ ]{x+3+3\sqrt[ ]{2x-3}}=9\sqrt[ ]{2} \)

Un cuidadoso análisis, y después de desarrollar haciendo desaparecer una raiz tras otra, se llega a obtener los siguientes resultados:

\( x=x_1=14  \)        \( \wedge \)         \( x=x_2=86 \)

El procedimiento usual, despues de encontrar dichos valores es verificarlos reemplazando directamente en la ecuación original. Resulta pues, en este caso, que \( x=x_1=14  \) verifica la igualdad; mientras que  \( x=x_2=86 \) no verifica la igualdad.

Entonces, se suele enseñar al estudiante que dichas cantidades que no verifican la igualdad se consideran soluciones extrañas.

Pero, un matemático no daría esa respuesta sin definir exactamente que son las "soluciones extrañas". Sin embargo, dado que los profesores (de las escuelas secundarias) no son necesariamente (todos) matemáticos, se conforman con decir que: "las cantidades que no verifican la igualdad son soluciones extrañas y punto".

De este modo, nuestros sistemas educativos adolecen de la virtud de preparar al estudiante en lo que deben ser las "verdades matemáticas".

Por cierto, "las soluciones extrañas, no son más que una consecuencia de la forma en que están expresadas los radicales, ligadas al método de resolución que se emplea.

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Una última referencia a los radicales.

Cuando se resuelve la ecuación de segundo grado, \( ax^2+bx+c=0 \), la fórmula favorita de algunos estudiantes suele ser:

\( x=\displaystyle\frac{-b\pm{\sqrt[ ]{b^2-4ac}}}{2a} \)

Un poco menos conocido es la fórmula para determinar las raíces de la ecuación de Cardano: \( x^3+px+q=0 \),

\( x=\sqrt[ 3]{-\displaystyle\frac{q}{2}+\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{q}{2})^2+(\displaystyle\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[ 3]{-\displaystyle\frac{q}{2}-\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{q}{2})^2+(\displaystyle\frac{p}{3})^3}} \)

De hecho, se puede encontrar las raices de una ecuaciones de cuarto grado en forma de radicales.

Así pues, los matemáticos se preguntaron si era posible encontrar soluciones en forma de radicales para una ecuación de quinto grado, de sexto grado, de septimo, etc. Así, en general para,

\( a_0x^n+a_1x^n^-^1+a_2x^n^-^2+ ... + a_n_-_1x+a_n = 0 \)

Y desde el siglo XVI hasta el siglo XIX los matemáticos se enfrascaron en afanosa búsqueda para hallar algún método que resuelva dichas ecuaciones, como combinación en forma de radicales (de los coeficientes \( a_0, a_1, a_2, .... \)).

Tal método general nunca fue hallado. Aún hoy muchos ingenuos seguirían buscando de no ser que gracias a Abel y Galois se demostró que para exponentes \( n\geq{5} \), no es posible hallar las raíces de una ecuación polinómica como combinación de sus coeficientes expresados en forma de radicales.

Esto nos hace conjeturar: ¿Acaso no podría ocurrir algo semejante con el UTF cuando se pretende demostrarla por la vía de la sencillez?. Que tal si así fuera. Entonces, estaríamos desperdiciando el tiempo en algo sin caso. Pero esto es apenas una conjetura, podría ocurrir, sin embargo, lo contrario.

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CONTINUACIÓN...

1.4. DESCONCIERTO DE IDEAS, CONCIERTO DE NÚMEROS

Entonces, ¿qué es lo que nos hace insistir en andar en esos caminos tan tortuosos (en que creemos demostrar algo; pero al final resulta que no tenemos nada)?. Si por ventura existiera tal demostración sencilla del UTF, ¿qué ganamos? y ¿qué gana la matemática?. ¿Pero, qué si no existe tal demostración?...

Si queremos ser recordados por contribuir en algo a la ciencia de las ciencias; entonces, trabajemos para descubrir nuevas relaciones, nuevas propiedades. Relaciones y propiedades que aún ocultan en el misterio los números enteros, los racionales y los irracionales (por no hablar de otro tipo de números). Y si queremos demostrar el UTF, intentemos comprender mejor cual es la verdadera dimensión de esta tarea.

Y esto de descubrir nuevas propiedades, no es exclusividad de los matemáticos (que han tenido la suerte de estudiar en las universidades). Lo importante es tener "pasión" para convertir a los números en nuestros grandes amigos.

Sigamos el ejemplo de Srinivasa A. Ramanujan (cuando aún no habían visto su potencial), éste joven hindú era un sencillo contador en su país; y siendo autodidacta pudo encontrar nuevas relaciones y fórmulas. Sus aportes han sido valiosos también para la demostración del UTF y la teoría de cuerdas en física.

Pero, hasta aquí sólo hemos esbozado nuestros argumentos en forma de ideas. Es hora de que los números comiencen a contarnos sus secretos con relación al UTF. ¿Tienen ellos algo que decir?.

Si es que tienen algo que decir, lo harán a partir del siguiente capítulo.

Pero, antes de entrar en tema. Analicemos la siguiente ecuación diofántica:

\( x(x+10)=y(y^2+9y+27) \)

Si Fermat nos dice que esta ecuación carece de soluciones enteras positivas (excepto para \( x=0 \), \( y=0 \) ¿le creemos?

Intente el lector resolverlo sin mirar el siguiente spolier

Spoiler

En realidad se trata de un truco, después de analizar un momento, nos damos cuenta que en el primer miembro podemos completar cuadrados...

\( x^2+10x+25-25 \)

...mientras que en el segundo miembro, podemos completar cubos...

\( y^3+9y^2+27y+27-27 \)

O sea,

\( (x+5)^2-25=(x+3)^3-27 \)

Que finalmente podemos escribir,

\( (y+3)^3=(x+5)^2+2 \)

Sean:  \( Y=y+3 \)  y   \( X=x+5 \)

Tenemos:   \( Y^3=X^2+2 \)      (Una de las famosas ecuaciones de Fermat)

Quienes dominan la teoría de números saben que, esta ecuación, tiene una única solución: \( Y=3 \),  \( X=5 \)

No consideraremos ahora por qué su solución es única, pero más adelante volveremos a analizar esta ecuación desde una perspectiva más adecuada.

[cerrar]

[nataivel]

Capítulo 2
CONCEPTOS FUNDAMENTALES


2.1. FILOSOFÍA Y MÉTODOS

Este breve estudio tiene por objetivo tratar de responder la pregunta fundamental: ¿Existe o no una demostración sencilla para el UTF?.

Si bien no se trata de dar una respuesta categórica, las relaciones matemáticas nos permitirán establecer ciertos parámetros para aproximarnos a una respuesta; ya sea en el sentido positivo, o bien en el sentido negativo.

Se trata pues de acumular evidencias que los propios números puedan proporcionarnos. No se trata de una demostración, por lo cual, no es necesario el rigor matemático.

En cambio, emplearemos los resultados y teoremas conocidos en las diferentes ramas del saber matemático (algebra básica, teoría de números, geometría en dos y tres dimensiones, teoría matricial y variable compleja). Esto en su estrato más básico, pues se trata de conocer hasta donde son efectivas estas herramientas para afrontar la difícil tarea de demostrar un teorema (tan fuerte) como es el UTF.

En ciertas oportunidades serán necesarias otras herramientas (no tan básicas). Esto para contrastar y comparar la potencia de una herramienta frente a otra.

2.2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS NECESARIAS

Para comprender mejor la exposición del contenido de este “breve estudio”, debemos ponernos de acuerdo en la terminología y el uso de los símbolos. Pues si comenzamos a exponer el tema directamente, luego el lector podría confundirse, y eso obligaría al autor a estar recordando a cada momento lo que se debe entender por tal o cual concepto.
 
Para evitar ese tipo de confusiones desarrollaremos el siguiente temario:

1) TEORIA DE NÚMEROS

La teoría de números es una amplia rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, especialmente los números enteros. Su particular objetivo es estudiar las propiedades más generales de los números enteros.

Nuestro objetivo en este capítulo será enunciar los conceptos fundamentales relacionados con la teoría de números. Así, trataremos los siguientes tópicos:

1. Sobre la divisibilidad de números enteros
2. Definición del máximo común divisor
3. Definición del mínimo común múltiplo
4. El teorema fundamental de la aritmética
5. Leyes del algebra de las congruencias (introducción a la aritmética modular)
6. El pequeño teorema de Fermat

Otros temas más profundos serán implementados, en los siguientes capítulos, tal que el lector pueda observar su aplicación inmediata.

2) ALGEBRA BÁSICA

El álgebra básica es el conjunto de reglas operacionales que un estudiante de la escuela secundaria aprende en su adolescencia (reglas como factorización, productos y cocientes notables, etc.). Por tanto, no será necesario repasar los tópicos que ella se dan.

3) INTRODUCIÓN A LA TEORÍA MATRICIAL

Los tópicos se irán implementando al inicio de cada capítulo, en los siguientes capítulos a fin de que el lector pueda observar su aplicación inmediata.

En este capítulo, adelantaremos los siguientes:

1. Definición de una matriz. Matriz cuadrada.
2. Determinante de una matriz cuadrada.
3. Inversa de una matriz cuadrada.

2.3. SOBRE LA DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS ENTEROS

2.3.1. DIVISORES

Dado un número entero cualquiera (\( a \)), se llama divisor de \( a  \), todo número entero (\( m\neq{0} \)) que lo divide exactamente. 

Por ejemplo, todos los divisores de 6 son,

                       

\( m \) = ±1, ±2, ±3, ±6

2.3.2. NUMEROS PRIMOS

Llamaremos números primos a todo número entero que posee exactamente cuatro divisores (dos divisores positivos y dos negativos. Por ejemplo, 7 es un número primo porque todos sus divisores son: +1, -1, +7, -7.

NOTA: Con la anterior definición excluimos a la unidad (1), porque éste tiene apenas dos divisores:+1, -1.

A veces, es más cómodo trabajar únicamente con los números primos positivos. En este “breve estudio” trabajaremos con los números primos positivos (a menos que se diga lo contrario en el momento pertinente).

La sucesión de los primeros números primos está dada por la siguiente lista:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ... (etc.)

Se debe a Euclides el teorema de la infinitud de los números primos. O sea, existen infinitos números primos.

NOTA:  Los números enteros que no son primos, se llaman números compuestos.

2.3.3. CONGRUENCIAS

Sea \( m \) un divisor positivo de la diferencia:\( a-b \), o sea, \( a = b + m\cdot{}M \) (donde\(  M \) es algún número entero).

Entonces,  se dice que “\( a \) es congruente con \( b \), módulo \( m \)”, y se  llama congruencia a la relación:
     

\( a\equiv{b} \) (mód.\( m \)),        (2.1)

     

esta notación se debe al célebre matemático alemán C. F. Gauss.

En la notación anterior, a la izquierda del signo ≡ se llama primer miembro y a la derecha, segundo miembro de la congruencia.

Asimismo,  las cantidades \( a \) y \( b \) se llaman residuos (\( b \) es residuo de \( a \) y \( a \) es residuo de \( b \), respectivamente) y\(  m \) se llama módulo.

Por ejemplo,            

\( 31\equiv{3} \) (mód.\( 7 \)),

Se lee: 31 es congruente con 3, módulo 7. Eso significa, que 31-3 es divisible por 7. O sea, 31-3=28 es divisible por 7.


2.3.4. COPRIMALIDAD
           
Si dos números \( a \) y \( b \) no pueden dividirse simultáneamente por ningún número primo \( p \) > 0, entonces se dice que “\( a \) es primo relativo a \( b \)” , o bien, que \( a \) y \( b \) son coprimos entre sí.

Este hecho suele simbolizarse así:
 

\( mcd(a , b) = 1 \) ;       (2.2)

que se lee: “el máximo común divisor de \( a \) y \( b \) es igual a la unidad”. 


 (continuará)

[nataivel]

Sin embargo, ésta es una aproximación intuitiva del concepto de coprimalidad, cuando aplicamos la noción de ser "simultáneamente no divisible" por algún número primo.

Por ejemplo,  15 y 44 son corpimos entre sí, porque no se puede encontrar níngún número primo (p>0) que divida a ambos números simultáneamente.

Si bien, esta forma de aproximarnos al concepto de coprimalidad no está en conflicto con la definición precisa; conviene que tal concepto (el de la coprimalidad) se inscriba en otro concepto mucho más amplio (el máximo comun divisor).

Como veremos, el máximo común divisor es un número natural cuyas propiedades están ligadas a la divisibilidad de dos números enteros (\( a \) y \( b \)) con respecto a dicho número. Entonces, veamos:


2.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Antes de definir qué es el máximo común divisor, enunciamos el siguiente teorema:

2.4.1. Teorema (existencia)

Sean \( a, b \) dos números enteros, no simultáneamente nulos; entonces, existe un número natural \( d \) con las siguientes propiedades:

i)    \( d|a \)    ∧  \(  d|b \) ( Léase: "\( d \) divide a \( a \), y,  \( d  \) divide a \( b \)")

ii) Existen los números enteros\(  u, v \), tales que:

                             

\( d=u\cdot{a}+v\cdot{b} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Vamos a demostrar por inducción sobre b.

Sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que b es positivo. (Es decir, trabajaremos con la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, ….).

1) Verificamos que las propiedades i) e ii) se cumplen perfectamente para b=1 y d=1. O sea,

i)    \( 1|a  \)     ∧        \( 1|b \)

ii)   \( u=1, v=1-a \);  o sea,  \( d=u\cdot{a}+v\cdot{b} \), o sea, \( d=1\cdot{a}+(1-a)\cdot{1} \)

2) Hipótesis inductiva: Las propiedades i) e ii) se cumplen para el resto de los números naturales (2,3,4, … ); y así, para todo número menor que “b”.

3) Demostraremos que el teorema es cierto para “b”. Sabemos que al dividir \( a \) por \(  b \) resulta:

                            \( a=q\cdot{b}+r  \)             donde:          \( 0\leq{} r <b \)             (1)

(donde\(  q \) se conoce como “cociente” y \( r \) como “resto” de la división)

a) Si fuera \( r=0 \), según (1) \( b|a \); luego, basta tomar \( d=b \) y el teorema queda probado. O sea,

i)  \( d|a \)      ∧        \( d|b \)

ii)   \( u=0 \), \( v=1 \); es decir,    \( d=u\cdot{a}+v\cdot{b} \)  \( d=0\cdot{a}+1\cdot{b} \)

b) Si fuera \( r\neq{0} \), entonces, \( 1\leq{r}<b \); y por la hipótesis inductiva aplicada a \( r \), existe un númro posiivo \( d \), tal que:

i)  \( d|b \)      ∧        \( d|r \)

y existen dos números enteros \( x  \) e \( y \), tal que,

ii)       \( d=x\cdot{b}+y\cdot{r} \)

Es evidente de este inciso i) la siguiente implicación: \( d|b \)      ∧        \( d|r \)  \( \Rightarrow{d|a} \)  (en virtud de la fórmula (1).

Además,

\( d=x\cdot{b}+y\cdot{r} \)

Reemplazando\(  r=a-q\cdot{b} \)

\( d=x\cdot{b}+y\cdot{(a-q\cdot{b})} \)

y reordenando apropiadamente...

\( d=x\cdot{b}+y\cdot{a-q\cdot{b}\cdot{y}} \)

\( d=y\cdot{a}+(x-yq)\cdot{b} \)

O sea:  \( u=y \)  y  \( v=x-yq \)

Todo esto dice que el teorema se cumple para \( b \). Luego, en virtud del principio de inducción, el teorema es válido para todo \( b \) y todo \( a \). Con lo que el teorema queda demostrado.

[cerrar]

2.4.2. Teorema (unicidad)

El número \( d \) del teorema anterior (2.4.1) es único.

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Supongamos que exista otro número (\( d' \)) con las siguientes propiedades:

i)  \( d'|a \)      ∧        \( d'|b \)

ii)       \( d'=u'\cdot{a}+v'\cdot{b} \) 

Entonces tendríamos:

1)  \( d|a \)      ∧      \( d|b \)    ∧   \( d'=u'\cdot{a}+v'\cdot{b} \)  \( \Rightarrow{d|d'} \); luego, \( d\leq{d'} \)

2)  \( d'|a \)      ∧      \( d'|b \)    ∧   \( d'=u\cdot{a}+v\cdot{b} \)  \( \Rightarrow{d'|d} \); luego, \( d'\leq{d} \)

3) De 1) y 2) se concluye que \( d=d' \)   (o viceversa). Con lo que se demuestra el teorema.

[cerrar]

Con estos dos teoremas, ya podemos definir el máximo común divisor:

2.4.3. DEFINICIÓN DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1) Dados dos números enteros \( a \) y \( b \) (no simultáneamente nulos), entonces, el único entero positivo asociado al par a, b según el teorema (2.4.1) se llama máximo común divisor (m.c.d.). Y se simboliza:

\( mcd(a, b)=d \)

2) Definimos el m.c.d. de dos cantidades nulas:     mcd(0, 0)=0

2.4.4. CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1) El m.c.d. no depende del orden de los números \( a \)  y  \( b \)

\( mcd(a, b)=mcd(b, a)=d \)

2) El m.c.d. no depende del signo de los números \( a \)  y  \( b \)

Ejemplo:   \( mcd(15, 45)=mcd(-15, 45) \)

3) De acuerdo con la demostración del teorema (2.4.1), si el cociente de dos números \( a \) por \( b \) puede expresarse en la forma:

\( a=q\cdot{b}+r \)

Entonces, el m.c.d. de \( a \) y \( b \) es igual al m.c.d. de \( b \) y \( r \)

O sea:                       

\( \boxed{mcd(a,b)=mcd(b,r)=d} \)

Con esta fórmula hemos ganado un método para encontrar el máximo común divisor de dos números (\( a \) y \( b \)) mediante divisiones sucesivas. Tal método se conoce como el algoritmo de Euclides.

Por ejemplo, calculemos \( mcd(84,45) \)

Primera división,          \( 84=1\cdot{45}+39 \)

Segunda división,        \( 45=1\cdot{39}+6 \)

Tercera división,           \( 39=6\cdot{6}+3 \)

Cuarta división,             \( 6=2\cdot{3}+0 \)

Hemos obtenido un resto cero (0), ahí finaliza el proceso. Luego, podemos reescribir:

\( mcd(84,45) = mcd(45, 39) = mcd(39, 6) = mcd(6,3) = 3 \)    porque   \( 3|6 \)  ∧   \( 3|3 \)


Finalmente, para darnos una idea intuitiva de lo que es el m.c.d....

El m.c.d. nos proporciona información acerca de todos los factores comunes que tienen \( a \) y \( b \). En consecuencia, si dos números no tuvieran factores comunes (p. ej. 15 y 44) su m.c.d. será igual a la unidad (1).

Es decir, en el ejemplo, 15 y 44 son coprimos entre sí; por eso es justo escribir: \( mcd(15, 45)=1 \), como ya habíamos adelantado en la anterior entrega.

(fórmulas en revisión...)

(continuará...)

[nataivel]

A continuación resolveremos algunos problemas relacionados con los conceptos que hemos visto hasta ahora,

2.4.5. PROBLEMAS

1. Determinar los valores enteros para el par \( u, v \), dado \( d=mcd(84,45)  \) y tal que \( d=84u+45v \) (algoritmo extendido de Euclides)

SOLUCIÓN

Como hemos visto (en la entrega anterior) \( d=mcd(84,45)  \) se puede determinar por divisiones sucesivas:

Primera división,          \( 84=1\cdot{45}+39 \)

Segunda división,        \( 45=1\cdot{39}+6 \)

Tercera división,            \( 39=6\cdot{6}+3 \)

Cuarta división,             \(  6=2\cdot{3}+0 \)

Otro modo de visualizar este proceso es con el siguiente esquema:



De inmediato, vemos que \( d=m.c.d.(84,45)=3 \)

Entonces, se trata de expresar éste número (\( d=3 \)) como una combinación lineal de \( a \) y de\(  b \). Para esto, seguiremos el siguiente proceso:

a) Despejar todos los restos de las divisiones anteriores (hasta la penúltima división). O sea,

En la primera división,          \( 39= \)84\( -1\cdot{}  \)45               (1)

En la segunda división,        \( 6= \)45\( -1\cdot{39} \)              (2)

En la tercera división,            \( 3=39-6\cdot{6}  \)               (3)

Nótese que 84 y 45 están en negrita, es decir, estos números no deben modificarse al hacer las operaciones...

b) Reemplazar sucesivamente....

-Remplazando (2) en (3), resulta,

\( 3=39-6\cdot{}( \)45\( -1\cdot{39}) \)\( =7\cdot{39}-6\cdot{} \)45     (4)

-Reemplazando (1) en (4), resulta,

\( 3=7\cdot{} \)(84\( -1\cdot{}  \)45)\( -6\cdot{} \)45\( =7\cdot{} \)84\( -13\cdot{} \)45

O sea, 

\( 3=7\cdot{} \)84\( +(-13)\cdot{} \)45

De donde rápidamente \( u=7 \)  y  \( v=-13 \)

NOTA: Como se puede advertir este proceso debe realizarse con mucho cuidado pues un error en las cuentas (o un olvido de signo) puede ser desastrozo...!.

2. Demostrar que la representación del m.c.d. de dos números, \( d=mcd(a,b) \), en la forma: \( d=a\cdot{u}+b\cdot{v} \) no es única.

SOLUCIÓN

De acuerdo con el problema anterior, siempre es posible encontrar dos números enteros \( u_0 \) y \( v_0 \), tal que:

\( d=a\cdot{u_0}+b\cdot{v_0} \)                (1)

     

Pero, también es posible encontrar la proporcionalidad:     \( t=a\cdot{R} \)\( =b\cdot{S} \) . O sea,

\( 0=a\cdot{R}-b\cdot{S} \)                      (2)

                       

Multiplicando por un númro entero arbitrario (k)

\( 0=a\cdot{R}\cdot{k}-b\cdot{S}\cdot{k} \)                (2')

                       

Sumando miembro a miembro (1) y (2'), resulta,

\( d=a\cdot{}(u_0+R\cdot{k})+b\cdot{}(v_0-S\cdot{k}) \)

Donde: \( u=u_0+R\cdot{k}  \)  y   \( v=v_0-S\cdot{k} \)

Y dado que k representa cualquier número entero, entonces, se pueden encontrar infinitos pares (u, v) tales que:

\( d=a\cdot{u}+b\cdot{v} \)

2.5. MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

Sean los números enteros \( a \) y \( b \), ambos no nulos. Entonces, \( a\cdot{b} \)  y  \( -a\cdot{b} \) son múltiplos de \( a \) y de \( b \). De aquí se sigue que el conjunto de los múltiplos comunes positivos de \( a \) y \( b \) es un conjunto no vacio.

Entonces, si dicho conjunto es no vacio, significa que existe un elemento mínimo, que lo denotaremos por\(  m \); pues el conjunto de los números naturales es bien ordenado (B.O.). Las propiedades de \( m \) son:

i) \( m \) es múltiplo de \( a \)  y  \( b \)

ii) \( m>0 \)

iii) Si \( k>0 \) es cualquier número entero, tal que \( k \) es múltiplo de \( a \) y \( b \). Entonces, \( m\leq{k} \)

2.5.1. DEFINICIÓN DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

1) El número entero \( m>0 \), asociado a \( a \)  y  \( b \) se denomina mínimo común múltiplo si verifica las anteriores propiedades (i), (ii), (iii). Y se denota mediante:

\( mcm(a,b)=m \)

2) Si \( a \) o \( b \) es cero (0). entonces:

\( mcm(a,b)=0 \)

Ejemplo, hallar el m.c.m. de 15  y  42

Escribimos todos los múltiplos de ambos:

Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, ....

Múltiplos de 42:  42, 84, 106, 168, 210, 250, 294, 336, 378,

Luego,   mcm(15,42)=210

2.5.2. Teorema

El valor absoluto del producto de dos números enteros (a y b), es igual al producto de su m.c.d. y de su m.c.m.

\( \boxed{\left |{a\cdot{b}}\right |=mcd(a,b)\cdot{mcm(a,b)}} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Sea:    \( m=\displaystyle\frac{\left |{ab}\right |}{mcd(a,b)} \)            (A)

1) Tenemos: \( m=\displaystyle\frac{\left |{ab}\right |}{mcd(a,b)}=\displaystyle\frac{\left |{a}\right |}{mcd(a,b)}\cdot{\left |{b}\right |}=\left |{a}\right |\cdot{}\displaystyle\frac{\left |{b}\right |}{mcd(a,b)} \)

De donde, m es un múltiplo de \( a \) y de \( b \).

CONCLUSION 1: Entonces se puede asegurar \( mcm(a,b)|m \)

2) Por otro lado, sea:

\( mcd(a,b)=a\cdot{u}+b\cdot{v} \) , esto puede escribirse también:

\( 1=\displaystyle\frac{a}{mcd(a,b)}\cdot{u}+\displaystyle\frac{b}{mcd(a,b)}\cdot{v} \)

Multiplicando esto por mcm(a,b)

\( mcm(a,b)=\displaystyle\frac{a}{mcd(a,b)}\cdot{u}\cdot{mcm(a,b)}+\displaystyle\frac{b}{mcd(a,b)}\cdot{v}\cdot{mcm(a,b)} \)

Pero, \( mcm(a,b)=a\cdot{a'}=b\cdot{b'}  \)       (pues debe ser múltiplo de \( a \) y de  \( b \), respectivamente)

Tenemos:

\( mcm(a,b)=\displaystyle\frac{a}{mcd(a,b)}\cdot{u}\cdot{b\cdot{}b'}+\displaystyle\frac{b}{mcd(a,b)}\cdot{v}\cdot{a\cdot{a'}} \)

Factorizando,

\( mcm(a,b)=\displaystyle\frac{a\cdot{b}}{mcd(a,b)}\cdot{}(b'\cdot{u}+a'\cdot{v}) \)

Pero, según hemos definido "m" al principio de esta demostración, podemos escribir,

\( mcm(a,b)=\pm{m}\cdot{(b'\cdot{u}+a'\cdot{v})} \)

El doble signo (\( \pm{} \)) depende de los signos de \( a \) y \( b \).

CONCLUSIÓN 2: De donde se demuestra que: m|mcm(a,b)

3) De las conclusiones 1) y 2) se tiene que \( m=mcm(a,b) \)

Y esto reemplazado en (A), demuestra el teorema.

[cerrar]

(continuará...)

[nataivel]

2.6. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Toda persona que alguna vez ha trabajado con números enteros se ha dado cuenta que éstos pueden expresarse como número primo o como el producto de dos o más números primos positivos (difiriendo sólo en el signo). Por ejemplo, \( N=35 \) tiene los siguientes divisores positivos (como vimos en la sección 2.3.1):

                 

\(  m=1, 5, 7, 35 \)

De aquí seleccionamos los números primos (ver sección 2.3.2), o sea, 5 y 7. Luego,

\( N=35=5\cdot{7} \)

Por otro lado, la representación de dicho número \( N \) es única. En nuestro ejemplo, N=35 sólo se puede representar mediante el producto de 5 y 7; no existen otros dos números primos (p y q, diferentes de 5 y 7) que nos den el mismo resultado,

O sea, si          \( N=35=p\cdot{q}  \) , sí y solo si,  \(  p=5 \) y \( q=7 \)

por tanto dichos números primos (3 y 5) son necesarios e irremplazables para generar el número \( N=35 \).

De esta cuestión trata el Teorema Fundamental de la Aritmética.

A continuación daremos una definición más precisa,

2.6.1. Teorema Fundamental de la Aritmética (T.F.A.)

Sea \( N\in{\mathbb{Z}} \), \( N\neq{0, 1, -1} \).

1) Entonces, existe una sucesión finita de números primos:

\( 0<P_1\leq{P_2}\leq{P_3}\leq{...}\leq{P_K} \)

Tal que: 

\( N=\epsilon\cdot{}P_1\cdot{P_2}\cdot{P_3}\cdot{....}\cdot{P_K} \)    , donde \( \epsilon=1, -1 \)

2) La forma anterior (1) de eXpresar \( N \) es única. O sea, si

\( 0<Q_1\leq{Q_2}\leq{Q_3}\leq{...}\leq{Q_L} \)

, siendo los  \( Q_j (j=1,2,3,...,L) \) números primos, y tal que,

\( N=\delta\cdot{}Q_1\cdot{Q_2}\cdot{Q_3}\cdot{....}\cdot{Q_L} \)    , donde \( \delta=1, -1 \)

entonces,

\( K=L \)

\( \epsilon=\delta \)

\( P_1=Q_1 \) , \( P_2=Q_2 \) , \( P_3=Q_3 \) , ...

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

PRIMERA PARTE

1) Si N=P (número primo), entonces el teorema es cierto.

2) Sin perdida de generalidad, supongamos que N es positivo, y establezcamos la siguiente hipótesis (que luego negaremos),

Hipótesis: Existe un número entero positivo (A\( \neq{1} \)) que no admite representación como producto de números primos.

2.1) Por B.O. existe un número entero minimal con esa propiedad. Sea, \( m \) dicho número entero, no factorizable como producto de números primos.

\( m \) no puede ser número primo, pues según (1) satisfaría el teorema (T.F.A.). Por lo tanto, si \( m \) no es primo, debe existir otro número primo (\( p \)) menor que \( m \) que lo divida (si no fuera así, \( m \) contradice la definición de número primo).

Sea \( p \) el menor de los divisores de \( m \) (B.O.), entonces,

\( m=p\cdot{m'} \)   ,  donde \( m'\neq{1} \)    (1) 

   

Pero, \( m'<m \). Pero, \( m \) es el menor número con las características de A (de la hipótesis). Luego, \( m' \) se rige según el teorema (T.F.A.), en consecuencia, \( m' \) se puede escribir:

\( m'=p_2\cdot{}p_3\cdot{}p_4\cdot{} ... \cdot{} p_k \)

siendo, \( p_2\leq{}p_3\leq{}p_4\leq{} ... \leq{} p_k \)

Pero, \( p\leq{p_2}      (2)  \)

Y de acuerdo con (1),

\( m=p\cdot{m'}=p\cdot{p_2}\cdot{p_3}\cdot{p_4}\cdot{...}\cdot{p_k} \)     (3)

Pero, (3) contradice a nuestra hipótesis del carácter de A. Con lo que, la parte del teorema que establece que todo número se puede escribir como producto de números primos es cierta.

SEGUNDA PARTE

1) Si \( N=P=Q \)  (siendo \( P \) número primo), entonces, por definición de número primo\(  Q \) es necesariamente igual a \( P \). Es decir, \( P \) y \( Q \) son el mismo número primo.

2) Supongamos que se verifica:

\( N=P_1\cdot{P_2}\cdot{P_3}\cdot{...}\cdot{P_K}=Q_1\cdot{Q_2}\cdot{Q_3}\cdot{...}\cdot{Q_L} \)    (1)

tales que,

\( 0<P_1\leq{P_2}\leq{P_3}\leq{...}\leq{P_K} \)     (2)

\( 0<Q_1\leq{Q_2}\leq{Q_3}\leq{...}\leq{Q_L} \)     (3)

O sea, hay "K" números primos \( P_i \) (i=1,2,3,...,K) y "L" números primos \( Q_j \) (j=1,2,3,...,L)

Por ser todos números primos, en ambos lados de la igualdad (1) debe poderse dividir por \( P_1 \). Luego, \( P_1=Q_x \) (donde x es el indice que representa alguno de los números primos \( Q_j \).

Por otro lado, en (1) es posible dividir ambos miembros por \( Q_1 \). Luego, \( P_y=Q_1 \) (donde y es el indice que representa alguno de los números primos \( P_i \).

Pero, según (2) \( P_1\leq{P_y}=Q_1\leq{Q_x} \). Pero, por B.O. \( P_1 \) y \( Q_1 \) son elementos minimales, de modo que \( P_1=Q_1 \).

Luego, dividiendo, por estos valores en ambos lados de (1), resulta,

\( N'=P_2\cdot{P_3}\cdot{P_4}\cdot{...}\cdot{P_K}=Q_2\cdot{Q_3}\cdot{Q_4}\cdot{...}\cdot{Q_L} \)    (1 ')

tales que,

\( 0<P_2\leq{P_3}\leq{P_4}\leq{...}\leq{P_K} \)     (2 ')

\( 0<Q_2\leq{Q_3}\leq{Q_4}\leq{...}\leq{Q_L} \)     (3 ')

Procediendo, sucesivamente de este modo, resulta,

\( P_2=Q_2 \), \( P_3=Q_3 \), \( P_4=Q_4 \), (etc.)

De donde, no puede existir diferentes números primos en ambos lados de la igualdad (1). Lo que implica que ambos lados de la igualdad (1) deben tener la misma cantidad de números primos , con los mismos números primos.

Con lo que se demuestra el teorema en su segunda parte.

[cerrar]

2.6.2. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL CANÓNICA DE UN NÚMERO ENTERO

Cuando se descompone un número (\( N \)), en sus factores primos, generalmente ocurre que varios de ellos pueden estar repetidos. Entonces, sean,

\( p_1<p_2<p_3<...<p_k \)       (los números primos que figuran en dicha descomposición)

y sean,

\( \alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<...<\alpha_k \)       (sus órdenes de multiplicidad en \( N \), respectivamente)

Llamaremos "descomposición canónica" a la siguiente expresión:

\( \boxed{N=\pm{p^\alpha_1_1\cdot{}p^\alpha_2_2\cdot{}p^\alpha_3_3\cdot{...}\cdot{p^\alpha_k_k}}} \)       (2.3)

donde el doble signo (\( \pm{} \)) depende del signo del entero \( N \).

Por ejemplo, la descomposición canónica de N=63131992 es la siguiente:

\( N=63131992=2^3\cdot{7^2}\cdot{11^5} \)

NOTA: En virtud del T.F.A. se dice que el conjunto de los números enteros es un dominio de factorización única (D.F.U.). Asimismo, como en \( \mathbb{Z} \) existe un algoritmo de división, se dice que \( \mathbb{Z} \) es un dominio euclidiano (D.E.).

2.7. INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA MODULAR

Ya habíamos adelantado la notación,

\( a\equiv b\pmod {m} \)       (2.4)

introducida por el célebre matemático Gauss, en su libro Disquisitiones Arithmeticae. Como él mismo afirma, en tal notación utiliza el símbolo \( \equiv{} \) a fin de que no se genere confunsión con respecto al signo \( = \) (empleado antes de él por el matemático Legendre). Con esto, Gauss hace una diferenciación de "forma" entre lo que se entiende por "igualdad" respecto de una "congruencia".

Daremos pues, a las congruencias, una perspectiva algebraica. Primero, enunciaremos un pequeño grupo de leyes fundamentales (de las congruencias) con sus respectivas demostraciones y/o justificaciones (basadas en la definición misma de la congruencia).

Después, a partir de dichas leyes, deduciremos otras. Asimismo, dichas leyes fundamentales nos permitirán resolver una amplia gama de problemas. Todo esto para que el lector note las similitudes que hay entre el álgebra básica y la aritmética modular.

Continuará...

[nataivel]

2.7.1. LEYES DEL ALGEBRA DE CONGRUENCIAS EN EL MÓDULO “m”

A partir de las siguientes leyes se pueden deducir otros teoremas para poderse aplicar en la resolución de problemas concretos.

Sean \( a, b, c, d, k \) todos números enteros y sea \( m>0 \) un número natural que se llama módulo. Entonces se verifican las siguientes leyes:

1) Reflexividad

\( a\equiv a\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Por definición de congruencia,  \( a-a=0 \) admite cualquier divisor \( m>0 \). Luego,

\( a\equiv a\pmod{m} \)

Se cumple para cualquier módulo “\( m>0 \)”. De donde se sigue que la congruencia obedece a la propiedad reflexiva.

[cerrar]

2) Simetría

\( a\equiv b\pmod{m} \)    entonces    \( b\equiv a\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Si,

\( a\equiv b\pmod{m} \)        (1),

entonces existe un número entero M tal que:

\( a-b=m\cdot{ M }  \)

Multiplicando por (-1)

\( -(a-b)=-m\cdot{ M }  \)

\( b-a=-m\cdot{ M } =m\cdot{(-M)}=m\cdot{M ‘} \)

de donde se sigue (por definición) que,

\( b\equiv a\pmod{m} \)        (2)

De donde, (1) y (2) son dos formas diferentes de expresar la misma congruencia. Esto es, se verifica la propiedad simétrica.

[cerrar]

3) Transitividad

\( a\equiv b\pmod{m} \)     y   \( b\equiv c\pmod{m} \) entonces  \( a\equiv c\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Si

\( a\equiv b\pmod{m} \)     y   \( b\equiv c\pmod{m} \), entonces se tiene respectivamente,

\( a-b=m\cdot{M_1} \)            (1)

\( b-c=m\cdot{M_2} \)            (2)

Sumando miembro a miembro (1) y (2),

\( (a-b)+(b-c)=m\cdot{M_1}+ m\cdot{M_2} \) 

 \( a-c=m\cdot{(M_1+M_2)}= m\cdot{(M_ 3} \)

Entonces, \( m \)   es divisor de \( a-c \) , o sea,

\( a\equiv c\pmod{m} \)           (3) 
   
Luego, (1) y (2) implican necesariamente (3), con lo que se verifica la propiedad transitiva.

[cerrar]

4) Leyes cancelativas

          4.1) Ley cancelativa respecto de la adición

\( a+c\equiv b+c\pmod{m} \)      sí y solo si        \( a\equiv b\pmod{m} \)

 

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

1) Sea,

\( a+c\equiv b+c\pmod{m} \)  ,

Esto implica la existencia de un número entero M, tal que,

\( (a+c)-(b+c)=m\cdot{M} \)   

Luego de eliminar paréntesis, resulta,

\( a\equiv b\pmod{m} \)   
                     
2) Procediendo en el sentido inverso. Sea,

\( a\equiv b\pmod{m} \) 
             
Por definición, podemos escribir,

\( a-b=m\cdot{M ‘} \)     
   
Sumando y restando la cantidad “c”, en el primer miembro de la anterior igualdad, tenemos,

\( a-b+c-c=a+c-b-c=(a+c)-(b+c)=m\cdot{M ‘} \)
 
Nuevamente por definición (de congruencia),

\( a+c\equiv b+c\pmod{m} \) 

Con lo cual la ley cancelativa en la adición queda justificada.

[cerrar]

          4.2) Ley cancelativa respecto del producto

Si  \( c\neq{0} \)  y  \( mcd(c, m)=1 \)  entonces,

\( a\cdot{c}\equiv b\cdot{c}\pmod{m} \)   si y solo si   \( a\equiv b\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Sea,

1) \( a\cdot{c}\equiv b\cdot{c}\pmod{m} \) 

Por definición existe un entero “M” tal que,

\( a\cdot{c}-b\cdot{c}=m\cdot{M} \)

Factorizando tras eliminar paréntesis, resulta,

\( c\cdot{(a-b)}=m\cdot{M} \)

Dividiendo ambos miembros por: \( c\neq{0} \)

\( a-b=\displaystyle\frac{m\cdot{M}}{c} \) 

\( c \)  y  \( m \)  deben ser coprimos entre sí, de otro modo, en la anterior fracción el valor del módulo (m) podría alterarse. Luego, “c” sólo puede dividir a “M”,

\( a-b=m\cdot{\displaystyle(\frac{M}{c})}=m\cdot{M ‘} \)

De donde,

 \( a\equiv b\pmod{m} \) 

2) dejamos al lector la demostración de la recíproca.

[cerrar]

          4.3) Propiedad periódica

\( a\equiv b+m\cdot{k}\pmod{m} \)  sí y solo si   \( a\equiv b\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Sea,

\( a\equiv b+m\cdot{k}\pmod{m} \) 

Luego, por definición, existe un número entero M, tal que se verifica la siguiente igualdad,

\( a-b-m\cdot{k}=m\cdot{M} \) 

Transponiendo \(  m\cdot{k}=  \)  al segundo miembro, resulta,

\( a-b=m\cdot{M}+m\cdot{k}=m\cdor{(M+k)}=m\cdot{M ‘} \)
 
De donde,

\( a\equiv b\pmod{m} \) 

Y como este proceso se puede invertir, la propiedad queda justificada.

[cerrar]

PERIODICIDAD: IMPORTANTE PROPIEDAD EN LA MATEMÁTICA

Spoiler

La matemática nos sorprende cuando nos encontramos con funciones cuyo rango se repite cíclicamente a medida que se avanza en su dominio. Por ejemplo, sin ir lejos, las funciones trigonométricas (como el: seno, coseno) tienen esa propiedad de repetirse (por ejemplo en cada intervalo de \( 2\pi \). En el gráfico, podemos observar cómo ocurre ese singular fenómeno.

Pero, ahora que estamos hablando de los números enteros, gracias a Gauss comtemplamos dicha propiedad de ser "periódica" en las congruencias. Es suficiente con estudiar a los números en terminos de un módulo (m) y de sus residuos (o restos) en las congruencias.

Efectivamente, esta propiedad de periodicidad (que acabamos de enunciar más arriba)...

(4.3)

\( a\equiv b+m\cdot{k}\pmod{m} \)  sí y solo si   \( a\equiv b\pmod{m} \)

   

es fundamental en la interpretación de la aritmética modular...

..pues ésta ley nos indica que la forma de los residuos de una congruencia (respecto de un módulo “m”) se repiten periódicamente.

Por ejemplo, (analizando la fórmula 4.3), en este caso, los residuos se repetirán cada \( T=m\cdot{}k \), (\( k=0, \pm{1}, \pm{2}, \pm{3} \), …) y por ello conviene llamar a \( T \) periodo de la congruencia.

Más adelante, daremos algunos pormenores de esta propiedad periódica de los números cuando establezcamos un concepto fundamental: “El sistema de restos”.

COMENTARIO: En un estudio más detallado, todavía, resulta de interés estudiar funciones del tipo:

\(  Y=f(X) \), donde X e Y adoptan sólo valores enteros. Y sobre esa base, estudiar las congruencias del tipo:

\(  Y\equiv f(X)\pmod{m} \),

Así, un interesante resultado nos ofrecen las funciones que verifican la siguiente propiedad:

\(  f(X+T)\equiv f(X)\pmod{m} \),

Estas nociones “sobre la periodicidad de las congruencias" (que involucran funciones de variable entera) volveremos a comentar con más detallle cuando desarrollemos la teoría que se expondrá en la parte 4 de este “breve estudio sobre la suma de dos potencias de igual exponente…”.

[cerrar]

5) Aditividad miembro a miembro

\( a\equiv c\pmod{m} \) y  \( b\equiv d\pmod{m} \) entonces  \( a+b\equiv c+d\pmod{m} \)

 

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Tenemos que,

\( a\equiv c\pmod{m} \)  y  \( b\equiv d\pmod{m} \) 

Por definición, esto implica la existencia de los enteros: \( M_1 \)  y  \( M_2 \)  , tales que,

\( a-c=m\cdot{M_1} \)    y

\( b-d=m\cdot{M_2} \)   

Sumando miembro a miembro las anteriores igualdades resulta,

\( (a-c)+(b-d)=m\cdot{M_1}+ m\cdot{M_2} \)
 
Agrupando convenientemente (en el primer miembro) y factorizando (en el segundo miembro),

\( (a+b)-(c+d)=m\cdot{(M_1+M_2)}=m\cdot{M_3} \) 

De donde es inmediato concluir,

\( a+b\equiv c+d\pmod{m} \) 

Que demuestra el resultado buscado.

[cerrar]

6) Multiplicatividad miembro a miembro

\( a\equiv c\pmod{m} \) y  \( b\equiv d\pmod{m} \)  entonces  \( a\cdot{}b\equiv c\cdot{}d\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Como en la propiedad anterior, tenemos que,

\( a\equiv c\pmod{m} \)  y  \( b\equiv d\pmod{m} \) 

Por definición, esto implica la existencia de los enteros: \( M_1 \)  y  \( M_2 \)  , tales que,

\( a-c=m\cdot{M_1} \)    y

\( b-d=m\cdot{M_2} \)

Trasponiendo “c” y “d” en ambos casos, para que podamos operar de forma más manejable, tenemos,

\( a=c+m\cdot{M_1} \)    y

\( b =d+m\cdot{M_2} \)

Multiplicando miembro a miembro ambas igualdades, tenemos,

\( a\cdot{}b=(c+m\cdot{M_1})(d+m\cdot{M_2}) \)

Desarrollando este producto,

\( a\cdot{}b=c\cdot{}d+m\cdot{}d\cdot{}M_1+ m\cdot{}c\cdot{}M_2+m^2\cdot{}M_1\cdot{}M_2 \)

\( a\cdot{}b=(c\cdot{}d+m\cdot{(d\cdot{}M_1+c\cdot{}M_2+M_1\cdot{}M_2)}=c\cdot{}d+m\cdot{}M_3 \)

De donde por definición, es inmediato,

\( a\cdot{}b\equiv c\cdot{}d\pmod{m} \)

[cerrar]

Combinado con estas leyes, también pueden ser bastante útiles las siguientes:

NOTA: El lector observará que en el anterior listado, el módulo “m” se mantiene invariable. En las leyes que se enuncian a continuación (en cambio) el valor del módulo se ve afectado.

7) Si \( a\equiv b\pmod{m} \)   entonces   \( mcd(a,m)=mcd(b,m) \)

8) Si \( a\equiv b\pmod{m} \)   y si d es cualquier divisor común de a y de m, entonces, d es divisor de b.

9) Si \( a\equiv b\pmod{m} \)   y si d>0 es un divisor positivo de m, entonces, \( a\equiv b\pmod{d} \) 
 
10) Si  \( a\equiv b\pmod{m_1} \)   y  \( a\equiv b\pmod{m_2} \)   , y si \( m=mcm(m_1,m_2) \)  entonces  \( a\equiv b\pmod{m} \)
 
11)  Si  \( a\equiv b\pmod{m} \)  Si  “d” es un divisor común de “a, b, m”. Entonces,

   \( a_1\equiv b_1\pmod{m_1} \) 

 (donde: \( a = d\cdot{}a_1 \)  , \( b = d\cdot{}b_1 \)  ,  \( m = d\cdot{}m_1 \)

12) Si  \( a\equiv b\pmod{m} \)  y \( t>0 \) es un entero  , entonces,

  \( a\cdot{}t\equiv b\cdot{}t\pmod{m\cdot{}t} \) 

NOTA: Se deja al lector que demuestre las propiedades (7) al (12).


2.7.2. APLICACIONES INMEDIATAS

Las leyes anteriores se pueden emplear para deducir otros teoremas. Dejaremos de momento ese afán para dedicarnos a resolver dos problemas importantes. Estos problemas se relacionan con la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diofánticas.

El lector debe estar atento a estas dos aplicaciones que se darán en los próximos párrafos. No sólo para comprender cómo se debe utilizar las anteriores leyes (arriba); sino, para darnos una idea acerca de la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diofánticas. Esta comprensión de la naturaleza de las soluciones de una ecuación diofántica, nos permitirá analizar con más claridad los pormenores del Último Teorema de Fermat cuando se pretende demostrar dicho UTF por la via sencilla.

Por lo tanto, el autor considera que siendo estos tópicos necesarios para ulteriores análisis (en este "breve estudio"), vamos a abundar en unos cuantos detalles con relación a lo siguiente:

1) Las ecuaciones lineales de congruencias y 2) La ecuación diofántica lineal (\( ax+by=c \))

2.7.2.1. LA ECUACIÓN LINEAL DE CONGRUENCIA

2.7.2.1.1. Definición

Se llama ecuación lineal de congruencia a una (congruencia) que contiene a la variable indeterminada X. El objetivo del problema consiste en determinar todas los valores de X tales que verifiquen la congruencia original.

La forma más general de una ecuación de congruencia lineal es:

\( a\cdot{}X\equiv b\pmod{m} \)

donde, \( a \)  ,  \( b \)  y  \( m>0 \) son números enteros dados y \( X \) es la cantidad indeterminada que buscamos conocer.

Por ejemplo,

\( 3X\equiv 7\pmod {11} \)     ó     \( 2X\equiv 3\pmod {2} \)

1) El primer problema que debemos resolver es determinar un criterio que nos asegure cuándo una ecuación diofántica lineal tiene solución.

Para responder a esta cuestión es suficiente analizar el coeficiente de la indeterminada X con respecto al módulo (m). Por ejemplo,
sea la ecuación lineal de congruencias:

\( 12X\equiv 5\pmod {6} \)

Es evidente que el coeficiente de X: (12), tiene la forma:\(  12=0+6k \) (en este caso k=2). Entonces, por la propiedad periódica (4.3) (ver arriba: leyes del algebra de congruencias), se puede escribir:

\( 12X\equiv 5\pmod {6} \)   \( \Rightarrow{} \)  \( (0+6k)X\equiv 5\pmod {6} \)   \( \Rightarrow{} \)  \( 0X+6kX\equiv 5\pmod {6} \)   \( \Rightarrow{} \)   \( 0X\equiv 5\pmod {6} \)

Pero, la expresión:    \( 0X\equiv 5\pmod {6} \)   es absurda...!!!

Luego, la ecuación lineal de congruencias

\( 12X\equiv 5\pmod {6} \)

carece de soluciones. También se puede decir que es IRRESOLUBLE.

(continuará)