[teeteto]

Bueno como nadie comentó nada voy a dar mi solución...no estoy muy convencido porque empleo continuidad de la derivada f' así que agradeceré cualquier comentario.

En primer lugar como f(0)=0 y f(1)=1 una sencilla aplicación del teorema del valor medio nos da que existe x0 tal que f'(x0)=1.
Si f'(x)=1 en todo [0,1] el resultado es obvio luego es trivial ver que existen a y b tales que f'(a)>1 y f'(b)<1.
Si f' es continua debe existir U entorno de a tal que f'>1 en U y V entorno de b tal que f'<1 en V pudiendo tomar U y V disjuntos. Además se puede suponer sin perdida de generalidad que en U f' toma los valores (1,1+E) y en V toma los valores (1-E,1).
Existe k0 natural de manera que 1/k<E para todo k>k0.
De nuevo por continuidad de f', para cada k>k0 existe xk en U t.q. f'(xk)=1+1/k y existe x'k en V t.q. f'(x'k)=1-1/k.

Tras estos preliminares vamos con el resultado:
Sea n natural cualquiera.
-- Si n es par tomamos k1,...,kn/2>k0 de modo que f'(xki)=1+1/ki y tambien f'(x'ki)=1-1/ki. Es obvio que los puntos {xki, x'ki  | i=1,...,n/2} son los puntos buscados.

-- Si n es impar se considera n-1 que es par y se razona de manera idética al caso anterior. Finalmente basta considerar además el punto x0 inicial para concluir el resultado.


Saludos a todos

[sauron]

Hola. Quisiera decir un par de cosillas respecto al problema.

La primera: a mi no me resulta tan trivial la existencia de a y b tales que f'(a)>1 y f'(b)<1. Por eso he dado algún detalle más en el documento que adjunto.

La segunda: en realidad lo que empleas es el teorema de los valores intermedios para derivadas (o teorema de Darboux para derivadas) de una forma encubierta suponiendo que f' es continua.

Por lo demas nada que objetar. Echadle un vistazo al pdf.

[teeteto]

Bueno si la derivada fuese siempre menor que uno y f empieza en cero es imposible que sea f(1)=1.
Se cosidera g(x)=f(x)-x
g(0)=f(0)=0
g'(x)=f'(x)-1<=0 por lo que g es no creciente y si f' no es constantemente 1, caso que se descartó, debe ser 0<g(1)=f(1)-1 y f(1) no puede ser 1 como se pide.
El otro caso es lo mismo.

Bueno, yo llamé a esto trivial...no lo es del todo...pero creo que es un tipo de ejercicio sencillo que todo el que haya realizado un curso básico de analisis ha hecho.

Un saludo

[xhant]

Felicitaciones, me parece que ambas respuestas estan bien.

Efectivamente, la derivada de la función debe ser continua (como contraejemplo vale tomar cualquier linea "quebrada" que una el (0,0) con el (1,1)).

[xhant]

Mire detenidamente las dos respuestas y estan bien. (Solo quiero decir que el teorema de Darboux, no usa otra cosa que la derivada de la funcion sea continua (Teorema de Bolzano?), me parece que no vale la pena ponerle el nombre de Darboux a ese teorema, seguramente Darboux hizo otros teoremas mas importantes.)

Como le sugeri el problema a Mario, tengo ventaja por hice la respuesta primero y luego el enunciado. Pero la demostracion me parece linda, como para no incluirla aqui.

Sean yk = k / n, con 0 <= k <= n. Luego por el teorema del valor medio existe xk, tal que yk-1 < xk < yk y f'(xk) = (f(yk-1) - f(yk)) / (yk-1 - yk).

Ahora sumando todo esto f'(x1) + f'(x2) + ... + f'(xn) = (f(y0) - f(yn)) / (1/n), (del lado derecho queda una suma telescopica). Y de aca obtenemos el enunciado, f(y0) = f(0) = 0, y f(yn) = f(1) = 1.

Un par de preguntas, ¿que pasa si tomo los yk, en la imagen en vez de el dominio de f? Como hay otros teoremas del valor medio, ¿hasta donde se puede generalizar?

[teeteto]

Pero a priori no hay control sobre la imagen de f...solo que es un compacto.

[sauron]

Quería aclarar que el teorema de los valores intermedios para las derivadas (o de Darboux para derivadas) no emplea el hecho de que f' sea continua.
En realidad, se cumple para cualquier función derivable. Por ejemplo, la función f:R -> R dada por f(x)=x+2 x^2 sen(1/x) si x distinto de 0 y f(0)=0 es derivable en todo R y cumple que f'(0)=1 pero en cualquier entorno de cero f' toma tanto valores positivos como negativos, y por tanto f' no puede ser continua en cero. Sin embargo se le puede aplicar igualmente el teorema de los valores intermedios para derivadas

[xhant]

Sauron, tienes toda la razon, mis disculpas a Darboux.

Teeteto, no me explique muy bien, en la demostracion tomo puntos tales que yk - yk-1 = 1/n. Lo que deberia haber dicho, que pasa si los tomo tal que f(yk)  - f(yk-1) = 1/n.