[Fernando Moreno]

Hola,   

Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( \pmb{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0} \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  coprimos.   

Lema I: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a una de las variables; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.   

De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré las menores posibles y en particular la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida (1) . 

Lema II: Comparativamente,  los enteros usuales mayores que  \( 1 \)  son los menores de los enteros de Eisenstein. 

Comparemos un entero de los llamados usuales  \( a \)  con un posible entero estrictamente de Eisenstein: \( a+a\omega \) .  La norma de este último es  \( a^2+a^2-a^2 \)  -y- sólo será igual á  \( a \)  si  \( a \)  es  \( 1 \) .  Lo mismo ocurrirá si lo comparamos con  \( a\omega \)  de norma  \( a^2 \) .  Si hacemos ahora la comparación con un número como  \( a+b\omega \) .  Su norma será  \( a^2+b^2-ab \) .  Y si  \( a>b \) ,  entonces  \( ab \)  será mayor que  \( b^2 \)  -y- restará á  \( a^2 \) .  Analicemos el caso mayor posible de esta resta para  \( b=a-1 \) .  Entonces:  \( a^2+(a-1)^2-a(a-1)=a^2+a^2+1-2a-a^2+a=a^2+1-a \) ,  que será siempre mayor que  \( a \)  ó en todo caso igual,  si trivialmente  \( a=1 \) .  Más distinta en este sentido es la comparación con  \( a-b\omega \) ,  cuya norma es  \( a^2+b^2+ab \) . 

De esta manera,  por (1) y el Lema II trabajaré como punto de partida con una ecuación de la forma  \( -c^3=a^3+b^3 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros usuales (de Eisenstein) y coprimos entre sí.  Supondré que  \( |c| \)  es la solución menor posible múltiplo de  \( 3 \)  -y- por el Lema I sabré que  \( 3^{3k} \)  la divide.

Lema III:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es:  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)  -y- que  \( (b+c)^3=5 \) .  Pero  \( (b+c)^3\equiv{b+c}=5+c \) ,  puesto que  \( b\equiv{b^3} \) mod \( 6 \) .  Ahora bien,  partimos por definición que  \( c\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ;  luego la congruencia no es posible.  Y por el segundo caso,  tendríamos que:  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 4=(b+c)^3-3 \)  -y- que  \( (b+c)^3=1 \) .  Pero  \( (b+c)^3\equiv{b+c}=1+c \) .  Y como  \( c\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ,  la congruencia tampoco puede resolverse.  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si una de las variables es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir a la variable que es múltiplo de  \( 3 \) ;  que hemos quedado en que es  \( c \) .     

Así,  si  \( -c^3=a^3+b^3 \) ,  entonces   \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=a^3+b^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) .  Como  \( a+b \)  -y-  \( (a+b)^2-3ab \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) .   Si divido ahora entre  \( 3^{3k} \)  en ambos lados de la igualdad,  tendré  \( -2^{3l}c`\,^3=\left({\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}}\right)\left({\dfrac{(a+b)^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  ,  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  serán cubos.  Como  \( a+b \)  es par,  pues  \( a,b \)  son impares,  voy a llamarlo  \( 2u \)  para un  \( u \)  entero.  De esta forma,  el cubo  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  será igual á  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab \) .   Y si llamo  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) .  Entonces  \( -2^{3l}c`\,^3=2u'\left({\dfrac{4u^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( 2u' \)  será un cubo también.     

Lema IV:  Si  \( 2u=a+b \) ,  existe un entero  \( v \)  tal que  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) . 

Tendremos que  \( v^2=\dfrac{4u^2}{3}-\dfrac{u^2}{3}-ab \)  -y-  \( v^2=u^2-ab \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}-ab \)  -y-  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4} \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{(a-b)^2}{4} \)  -y-  \( v=\dfrac{a-b}{2} \) . 

Sabemos pues que  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \)  es un cubo.  Si lo desarrollamos:  \( \left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \) .  Si multiplico  \( \dfrac{\sqrt{-3}}{\sqrt{-3}} \)  á  \( \dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) ,  tendré  \( \left({v+\dfrac{u\sqrt{-3}}{-3}}\right)\left({v-\dfrac{u\sqrt{-3}}{-3}}\right) \) .   Como  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) ,  entonces  \( u=3^{3k-1}u' \)  -y-  \( \dfrac{u}{3}=3^{3k-2}u' \) .  Luego:  \( \left({v-3^{3k-2}u'\sqrt{-3}}\right)\left({v+3^{3k-2}u'\sqrt{-3}}\right) \) .  Y como  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  entonces  \( \sqrt{-3}=\omega(\omega-1)=\omega^2-\omega=-2\omega-1 \) .  De esta manera: \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega) \) .  Analicemos ahora la coprimalidad de estos dos factores.  Su suma es:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega+v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2v \) .  Y su diferencia es:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega-v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2\cdot 3^{3k-2}u'+4\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) .  Luego ambos factores son coprimos y terceras potencias,  pues ni  \( 3 \)  ni  \( 1+2\omega \) ,  que es una asociado de  \( \lambda=\omega-1 \) ,  dividen á  \( v \)  -y-  \( 2u'=\dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  -y-  \( 2v=a-b \)  son coprimos.     

Pero fijémonos en la resta que hemos hecho:  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) .  Tendremos por una parte que  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=\epsilon_1\alpha^3 \)  -y- que  \( (v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=\epsilon_2\beta^3 \) ,  para  \( \epsilon_1, \epsilon_2 \)  unidades.   Luego módulo  \( 3 \) ,  por el Lema I -ya que representan cubos no múltiplos de  \( 3 \) -  será que:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega\equiv{\pm\epsilon_1} \)  -y- que  \( v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega\equiv{\pm\epsilon_2} \) .  Ó sea:  \( v\equiv{\pm\epsilon_1, \pm\epsilon_2} \) mod \( 3 \) .  Por lo que a la fuerza ambas unidades son  \( \pm 1 \) .  En concreto:  \( 1 \) ,  porque  \( v=\dfrac{a-b}{2} \)  -y- suponemos,  sin pérdida de generalidad,  que  \( a^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) .  Por otra parte está  \( 2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) ,  que en realidad es:  \( 2u'(-\omega^{6k-4}\lambda^{6k-4})(-\omega(\omega-1))=2u'\omega^{6k-3}\lambda^{6k-3}=2u'\lambda^{6k-3} \) .  Esto es,  un cubo de unidad  \( \pm 1 \) .  Por lo tanto:  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)\mp 2u'\lambda^{6k-3}=0 \) .  Y si llamo:  \( \alpha'\,^3=v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega \)  ;  \( \beta'\,^3=-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega) \)  -y-  \( \gamma'\,^3=\mp 2u'\lambda^{6k-3} \) ,  tendré que:  \( \pmb{\alpha'\,^3+\beta'\,^3+\gamma'\,^3=0} \) .  Donde ahora sólo  \( \pmb{3^{3k-2}} \)  divide á  \( \pmb{\gamma'\,^3} \) . 

Veamos si  \( \gamma'\,^3 \)  es menor que  \( \gamma^3 \) .   El tamaño de  \( \gamma^3 \)  que hemos escogido (el menor posible):  \( -c^3 \) ,  sería:  \( \ |-c^3 |=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) .  Y el tamaño de  \( |\gamma'\,^3|=\left |{\mp\,2u'\lambda^{6k-3}}\right |=|\mp\,2u'3^{3k-2}(1+2\omega)| \) ;  será de:  \( (2u'3^{3k-2})^2(1+2\omega)(1+2\omega^2)=3(2u'3^{3k-2})^2 \) .  Como  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) ,  entonces  \( 3\left({\dfrac{2u}{3}}\right)^2=3\dfrac{4u^2}{9}=\dfrac{(a+b)^2}{3} \) .  Establezcamos ahora que éste sea mayor o igual que  \( (a+b)((a+b)^2-3ab) \)  tratando de buscar el absurdo.  - Sin perder generalidad,  en todo lo que sigue supondremos que  \( a>b \) - .  Tenemos que:  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}\geq(a+b)((a+b)^2-3ab)=a+b\geq3((a+b)^2-3ab) \) .  Como tengo  \( |-c^3|=(a+b)((a+b)^2-3ab) \)  -y-  \( 3|-c^3|=(a+b)3((a+b)^2-3ab) \) .  Si sustituyo el resultado de antes así:  \( a+b=3((a+b)^2-3ab) \)  en esta ecuación:  \( 3|-c^3|=(a+b)3((a+b)^2-3ab) \)  resultará que:  \( 3|-c^3|\leq(a+b)(a+b) \)  -y-  \( 3|-c^3|\leq a^2+b^2+2ab \) .  Pero esto es lo mismo que:  \( 3(a^3+b^3)\leq(a^2+b^2+2ab) \)  -y-  \( 3a^3-a^2+3b^3-b^2\leq 2ab=a^2(3a-1)+b^2(3b-1)\leq 2ab \) .  Lo que no es posible,  porque si no  \( (a-b)^2=a^2+b^2-2ab \)  sería negativo,  cuando hemos quedado que  \( a>b \) .  Luego efectivamente no puede ser que  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}\geq(a+b)((a+b)^2-3ab) \)  -y- :  \( \pmb{\gamma'\,^3<\gamma^3} \) .     


Un saludo,   


PD.  Ya puedo ponerme a hacer las correcciones a la primera versión de esta demostración,  que tengo abandonada.

[Luis Fuentes]

Hola

Lema II: Comparativamente,  los enteros usuales mayores que  \( 1 \)  son los menores de los enteros de Eisenstein. 

Comparemos un entero de los llamados usuales  \( a \)  con un posible entero estrictamente de Eisenstein: \( a+a\omega \) .  La norma de este último es  \( a^2+a^2-a^2 \)  -y- sólo será igual á  \( a \)  si  \( a \)  es  \( 1 \) .  Lo mismo ocurrirá si lo comparamos con  \( a\omega \)  de norma  \( a^2 \) .  Si hacemos ahora la comparación con un número como  \( a+b\omega \) .  Su norma será  \( a^2+b^2-ab \) .  Y si  \( a>b \) ,  entonces  \( ab \)  será mayor que  \( b^2 \)  -y- restará á  \( a^2 \) .  Analicemos el caso mayor posible de esta resta para  \( b=a-1 \) .  Entonces:  \( a^2+(a-1)^2-a(a-1)=a^2+a^2+1-2a-a^2+a=a^2+1-a \) ,  que será siempre mayor que  \( a \)  ó en todo caso igual,  si trivialmente  \( a=1 \) .  Más distinta en este sentido es la comparación con  \( a-b\omega \) ,  cuya norma es  \( a^2+b^2+ab \) . 

Es bastante raro este Lema eh....  A ver si lo entiendo.

Simplemente estás diciendo que siendo \( a \) y \( b \) enteros y \( a>0 \), \( a\leq N(a+b\omega)  \). Ser... es cierto. Pero no se muy bien que trascendencia y uso pretendes hacer de esto. En prime lugar es como algo tramposo, porque \( N(a)=a^2 \). Pero tu no comparas \( N(a) \) con \( N(a+b\omega) \) sino \( \sqrt{N(a)} \) con \( N(a+b\omega). \)

De esta manera,  por (1) y el Lema II trabajaré como punto de partida con una ecuación de la forma  \( -c^3=a^3+b^3 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros usuales (de Eisenstein) y coprimos entre sí.  Supondré que  \( |c| \)  es la solución menor posible múltiplo de  \( 3 \)  -y- por el Lema I sabré que  \( 3^{3k} \)  la divide.

Aquí no entiendo como se supone que interpretas el Lema II, para ahora decir que trabajas con enteros. Parece que afirmas que tomas la solución con la menor norma de \( \gamma \). ¿Pero quién te asegura qué una tal solución de menor norma es de enteros y no de enteros de Eisenstein?.

A mi me parece que aquí cambias sin más a trabajar con enteros. Sin justificación. No veo que el lema II aporte nada.

No he leído lo que queda en detalle, pero:

- Si en lo que queda sólo usas enteros.. bien. Desde el principio es una demostración que podría haberse hecho sólo con enteros.
- Si usas enteros de Eisenstein... mmmm... raro... raro...

Echo de menos a partir del Lema IV, un esbozo de la idea de lo que haces.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola Luis, gracias por la lectura.

Lema II: Comparativamente,  los enteros usuales mayores que  \( 1 \)  son los menores de los enteros de Eisenstein. 

Comparemos un entero de los llamados usuales  \( a \)  con un posible entero estrictamente de Eisenstein: \( a+a\omega \) .  La norma de este último es  \( a^2+a^2-a^2 \)  -y- sólo será igual á  \( a \)  si  \( a \)  es  \( 1 \) .  Lo mismo ocurrirá si lo comparamos con  \( a\omega \)  de norma  \( a^2 \) .  Si hacemos ahora la comparación con un número como  \( a+b\omega \) .  Su norma será  \( a^2+b^2-ab \) .  Y si  \( a>b \) ,  entonces  \( ab \)  será mayor que  \( b^2 \)  -y- restará á  \( a^2 \) .  Analicemos el caso mayor posible de esta resta para  \( b=a-1 \) .  Entonces:  \( a^2+(a-1)^2-a(a-1)=a^2+a^2+1-2a-a^2+a=a^2+1-a \) ,  que será siempre mayor que  \( a \)  ó en todo caso igual,  si trivialmente  \( a=1 \) .  Más distinta en este sentido es la comparación con  \( a-b\omega \) ,  cuya norma es  \( a^2+b^2+ab \) . 

Es bastante raro este Lema eh....  A ver si lo entiendo.

Simplemente estás diciendo que siendo \( a \) y \( b \) enteros y \( a>0 \), \( a\leq N(a+b\omega)  \). Ser... es cierto. Pero no se muy bien que trascendencia y uso pretendes hacer de esto. En prime lugar es como algo tramposo, porque \( N(a)=a^2 \). Pero tu no comparas \( N(a) \) con \( N(a+b\omega) \) sino \( \sqrt{N(a)} \) con \( N(a+b\omega). \) 

Demostraciones por descenso del UTF3 supongo que hay muchas. Pero la "gracia" de esta demostración es precisamente la finalidad de este Lema que no acabas de ver. No hay trampa. Para comparar el tamaño de un entero de Eisenstein (no usual) debo utilizar la Norma. Al final de la demostración lo hago en sentido inverso. Comparo la Norma de  \( \gamma'\,^3 \)  con  \( c^3 \) y sale; pudo no salir, me la jugué, pero sale que es menor que  \( c^3 \).  El Lema demuestra que no hay una Norma posible de un entero de Eisenstein menor que el tamaño de su correspondiente entero usual si es mayor que  \( 1 \) . Si el planteamiento dice: Voy a buscar el cubo menor múltiplo de  \( 3 \) ,  éste debe ser de la forma de un entero usual, no de un entero de Eisenstein estricto. No vale la pena seguir, si no he logrado que esto se entienda. Es la clave que enlaza de una manera distinta y original lo que es una demostración con enteros de Eisenstein con el planteamiento original de Fermat en enteros usuales (que son de Eisenstein también). De todas maneras, claro, puede que esté mal. El caso es que no logro ver todavía por qué está mal, eso es todo.

Echo de menos a partir del Lema IV, un esbozo de la idea de lo que haces.

Disculpa, intentaré añadir alguna explicación.

Un saludo


Añadido:

Se trata de escoger el cubo múltiplo de 3 menor posible en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  que sea solución de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  que es el supuesto de partida. Como los enteros usuales son menores o iguales -quizás ahí ha estado mi error: ó iguales- que los enteros estrictamente de Eisenstein. Escogeré un cubo de la forma:  \( |-c^3|=a^3+b^3 \) .

Por ejemplo, -un entero de Eisenstein pequeño:  \( \omega \) . Pasa que  \( 1\leq 1^2 \) .  Otro mínimo pero que no sea una unidad:  \( \omega-1 \) .  Y  \( 3\leq 3 \) .  Lo que quiero decir con ése Lema II es que si en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  me propongo partir del cubo múltiplo de 3 menor posible, no tiene porqué ser de la forma:  \( a+b\omega \)  que sea, porque existe un  \( a \) ,  también entero de Eisenstein, que es menor ó, a lo sumo, igual. Luego no uso los enteros usuales "por la cara". Lo estoy razonando. Son los candidatos idóneos para lo que busco probar.

[Luis Fuentes]

Hola

El caso es que no logro ver todavía por qué está mal, eso es todo.

Es que respecto al Lema II no es que esté mal: sigo sin verle sentido alguno.

Por ejemplo, -un entero de Eisenstein pequeño:  \( \omega \) . Pasa que  \( 1\leq 1^2 \) .  Otro mínimo pero que no sea una unidad:  \( \omega-1 \) .  Y  \( 3\leq 3 \) .  Lo que quiero decir con ése Lema II es que si en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  me propongo partir del cubo múltiplo de 3 menor posible, no tiene porqué ser de la forma:  \( a+b\omega \)  que sea, porque existe un  \( a \) ,  también entero de Eisenstein, que es menor ó, a lo sumo, igual. Luego no uso los enteros usuales "por la cara". Lo estoy razonando. Son los candidatos idóneos para lo que busco probar.

Pero es que no tiene sentido ninguno eso. En primer lugar me sigue sorprendiendo que para "comparar" enteros de Eisenstein, unos que resultan ser enteros y otros digamos mixtos uses "medidas" distintas. Insisto en que comparas \( \sqrt{N(a)} \) con \( N(a+b\omega) \). No has comentado nada al respecto.

Por otra parte tu argumento lo veo tan absurdo como esto. Voy a estudiar las posibles soluciones de una ecuación en los naturales (que en mi analogía juegan el papel de todos los enteros de Eisenstein), pongamos \( a^2+b^2=c^2. \) Como existe un subonjunto \( \{1\} \) (que juega el papel de los enteros normales) de manera que cualquier natural es mayor que \( 1 \) puedo suponer que la solución más pequeña de la ecuación es con \( c=1 \).

Es decir como dado cualquier entero de Eisenstein existe un entero normal más pequeño o igual (aún encima con esa medida tan desigual que haces, pero eso es indiferente), supones que la solución con uno de los valores el menor posible tiene ese valor entero. ¿Por qué?. Es que no le veo sentido alguno.

Cuando tenga tiempo mido el resto de lo que has escrito, a ver si aclara algo.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Pero es que no tiene sentido ninguno eso. En primer lugar me sigue sorprendiendo que para "comparar" enteros de Eisenstein, unos que resultan ser enteros y otros digamos mixtos uses "medidas" distintas. Insisto en que comparas \( \sqrt{N(a)} \) con \( N(a+b\omega) \). No has comentado nada al respecto.

Lo había mirado pero no visto. Es verdad. No había caído en eso. Entonces tengo que cambiarlo todo.

Por otra parte tu argumento lo veo tan absurdo como esto. Voy a estudiar las posibles soluciones de una ecuación en los naturales (que en mi analogía juegan el papel de todos los enteros de Eisenstein), pongamos \( a^2+b^2=c^2. \) Como existe un subonjunto \( \{1\} \) (que juega el papel de los enteros normales) de manera que cualquier natural es mayor que \( 1 \) puedo suponer que la solución más pequeña de la ecuación es con \( c=1 \).

Es decir como dado cualquier entero de Eisenstein existe un entero normal más pequeño o igual (aún encima con esa medida tan desigual que haces, pero eso es indiferente), supones que la solución con uno de los valores el menor posible tiene ese valor entero. ¿Por qué?. Es que no le veo sentido alguno.

Ok, esto no lo veo tan claro, pero ya voy viendo por dónde vas.

Cuando tenga tiempo mido el resto de lo que has escrito, a ver si aclara algo.

Como quieras, tengo que cambiarlo todo. En fin

Un saludo y gracias por la corrección, como siempre

[Fernando Moreno]

 Hola, corrijo:
   

Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros usuales y coprimos entre sí.   

Lema I: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  enteros de Eisenstein, usuales o no, entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a una de los cubos; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.

Por otra parte,  si lo que tenemos es  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros usuales y coprimos entre sí -y-  \( 3 \)  no divide á  \( abc \) .  Entonces,  puesto que  \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) ,  tendremos que  \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser.  Por lo que puedo establecer,  sin perder generalidad,  que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( c \) ,  en el caso que nos ocupa.   

De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida. 
 
Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es:  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)  -y- que  \( (b+c)^3=5 \) .  Pero  \( (b+c)^3\equiv{b+c}=5+c \) ,  puesto que  \( b\equiv{b^3} \) mod \( 6 \) .  Ahora bien,  partimos por definición que  \( c\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ;  luego la congruencia no es posible.  Y por el segundo caso,  tendríamos que:  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 4=(b+c)^3-3 \)  -y- que  \( (b+c)^3=1 \) .  Pero  \( (b+c)^3\equiv{b+c}=1+c \) .  Y como  \( c\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ,  la congruencia tampoco puede resolverse.  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si uno de los cubos es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ;  que hemos quedado que es  \( c \) .     

Así,  si  \( -c^3=a^3+b^3 \) ,  entonces   \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=a^3+b^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) .  Como  \( a+b \)  -y-  \( (a+b)^2-3ab \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) .   Si divido ahora entre  \( 3^{3k} \)  en ambos lados de la igualdad,  tendré  \( -2^{3l}c`\,^3=\left({\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}}\right)\left({\dfrac{(a+b)^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  ,  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  serán cubos.  Como  \( a+b \)  es par,  pues  \( a,b \)  son impares,  voy a llamarlo  \( 2u \)  para un  \( u \)  entero.  De esta forma,  el cubo  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  será igual á  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab \) .   Y si llamo  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) .  Entonces  \( -2^{3l}c`\,^3=2u'\left({\dfrac{4u^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( 2u' \)  será un cubo también.     

Lema III:  Si  \( 2u=a+b \) ,  existe un entero  \( v \)  tal que  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) . 

Tendremos que  \( v^2=\dfrac{4u^2}{3}-\dfrac{u^2}{3}-ab \)  -y-  \( v^2=u^2-ab \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}-ab \)  -y-  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4} \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{(a-b)^2}{4} \)  -y-  \( v=\dfrac{a-b}{2} \) . 

A partir de aquí,  será fácil llegar a otra suma de 3 cubos igual a cero. 

Sabemos pues que  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \)  es un cubo.  Si lo desarrollamos:  \( \left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \) .  Si multiplico  \( \dfrac{\sqrt{-3}}{\sqrt{-3}} \)  á  \( \dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) ,  tendré  \( \left({v+\dfrac{u\sqrt{-3}}{-3}}\right)\left({v-\dfrac{u\sqrt{-3}}{-3}}\right) \) .   Como  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) ,  entonces  \( u=3^{3k-1}u' \)  -y-  \( \dfrac{u}{3}=3^{3k-2}u' \) .  Luego:  \( \left({v-3^{3k-2}u'\sqrt{-3}}\right)\left({v+3^{3k-2}u'\sqrt{-3}}\right) \) .  Y como  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  entonces  \( \sqrt{-3}=\omega(\omega-1)=\omega^2-\omega=-2\omega-1 \) .  De esta manera: \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega) \) .  Analicemos ahora la coprimalidad de estos dos factores.  Su suma es:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega+v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2v \) .  Y su diferencia es:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega-v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2\cdot 3^{3k-2}u'+4\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) .  Luego ambos factores son coprimos y terceras potencias,  pues ni  \( 3 \)  ni  \( 1+2\omega \) ,  que es una asociado de  \( \lambda=\omega-1 \) ,  dividen á  \( v \)  -y-  \( 2u'=\dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  -y-  \( 2v=a-b \)  son coprimos.     

Pero fijémonos en la resta que hemos hecho:  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) .  Tendremos por una parte que  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=\epsilon_1\alpha^3 \)  -y- que  \( (v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=\epsilon_2\beta^3 \) ,  para  \( \epsilon_1, \epsilon_2 \)  unidades.   Luego módulo  \( 3 \) ,  por el Lema I -ya que representan cubos no múltiplos de  \( 3 \) -  será que:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega\equiv{\pm\epsilon_1} \)  -y- que  \( v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega\equiv{\pm\epsilon_2} \) .  Ó sea:  \( v\equiv{\pm\epsilon_1, \pm\epsilon_2} \) mod \( 3 \) .  Por lo que a la fuerza ambas unidades son  \( \pm 1 \) .  En concreto:  \( 1 \) ,  porque  \( v=\dfrac{a-b}{2} \)  -y- suponemos,  sin pérdida de generalidad,  que  \( a^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) .  Por otra parte está  \( 2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) ,  que en realidad es:  \( 2u'(-\omega^{6k-4}\lambda^{6k-4})(-\omega(\omega-1))=2u'\omega^{6k-3}\lambda^{6k-3}=2u'\lambda^{6k-3} \) .  Esto es,  un cubo de unidad  \( \pm 1 \) .  Por lo tanto:  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)\mp 2u'\lambda^{6k-3}=0 \) .  Y si llamo:  \( \alpha'\,^3=v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega \)  ;  \( \beta'\,^3=-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega) \)  -y-  \( \gamma'\,^3=\mp 2u'\lambda^{6k-3} \) , ya tengo lo que buscaba:  \( \alpha'\,^3+\beta'\,^3+\gamma'\,^3=0 \) .  Donde ahora sólo  \( 3^{3k-2} \)  divide á  \( \gamma'\,^3 \)  -y-  \( |\mp 2u'|=\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}<|-c^3| \) .


Un saludo, 

[Luis Fuentes]

Hola

     De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida. 

OJO. Pero parece que tu partes de una solución de ENTEROS USUALES con la condición de minimalidad que indicas. Si de ahí deduces que llegas a otra solución de ENTEROS USUALES que rompe esa condición de minimalidad, es decir, más pequeña. De acuerdo, demuestras que no puede darse.

Pero si lo que llegas es a una solución de ENTEROS NO USUALES (en \( \mathbb{Z}(\omega) \) ) entonces no demuestras nada. En ese caso para que el argumento fuese válido desde el principio y en todo momento tendrías que poder reproducirlo para ENTEROS NO USUALES.

Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es: \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)

No veo la implicación que he marcado en rojo.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola,

Hola

     De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida. 

OJO. Pero parece que tu partes de una solución de ENTEROS USUALES con la condición de minimalidad que indicas. Si de ahí deduces que llegas a otra solución de ENTEROS USUALES que rompe esa condición de minimalidad, es decir, más pequeña. De acuerdo, demuestras que no puede darse.

Pero si lo que llegas es a una solución de ENTEROS NO USUALES (en \( \mathbb{Z}(\omega) \) ) entonces no demuestras nada. En ese caso para que el argumento fuese válido desde el principio y en todo momento tendrías que poder reproducirlo para ENTEROS NO USUALES.

Ok. De todas maneras tengo que darle un par de vueltas más. Me resisto ante tanta exclusividad: O enteros usuales O enteros de Eisenstein, sin posibilidad alguna de confluencia. Quiero buscar -si lo hay- algún camino intermedio.

Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es: \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)

No veo la implicación que he marcado en rojo.

Saludos.

Cierto, está mal. Es:  \( -3bc(b+c)\equiv{0} \) mod \( 6 \) .

Un saludo y gracias

[Fernando Moreno]

Hola, me baso ahora en la idea general de la demostración de Euler del UTF3; por lo que esto puede considerarse como una versión de la misma.     


Supongamos que  \( \pmb{a^3+b^3+c^3=0} \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros y coprimos entre sí. 

Si  \( 3 \)  no divide á  \( abc \) .  Entonces,  puesto que  \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) ,  tendremos que  \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser.   

Establezcamos pues,  sin perder generalidad,  que  \( 3^k \) ,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( c \) .     

Lema I: Si  \( \alpha^3 \) ,  para  \( \alpha\in{\mathbb{Z}(\omega)} \) ,  no es múltiplo de  \( 3 \)  ni de  \( 2 \) ,  entonces  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \)  -y-  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .   

Tomemos  \( \alpha=a+b\omega \) ,  para  \( a,b \)  enteros y coprimos.  Entonces:  \( \alpha^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \) .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones:  Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) .  Puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividirá á  \( a+b \)  -y- por lo tanto,  al menos,   \( \lambda=\omega-1 \)  de  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  también dividirá á  \( a+b\omega \) ,  ya que  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \)  \( (\omega\equiv{1} \) mod \( \lambda) \) .  En la primera de las situaciones,  \( \alpha^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  Y en la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) . 

Módulo  \( 2 \) ,  tenemos también que  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) .  Y al ser  \( 2 \)  primo en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos pares; y en consecuencia  \( \alpha^3 \)  será congruente con  \( 1 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  Ó que los dos,  \( a,b \) ,  sean impares; pero entonces  \( (a+b\omega)^3\equiv{1+3\omega+3\omega^2+1}=-1\equiv{1} \) .  En definitiva,  en todos los casos  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .   

Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide al cubo que es par.   

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tendremos que:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y-  \( \alpha^3 \)  un cubo entero de Eisenstein .  Como  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) ,  si éste no lo divide (Lema I) -y- :  \( a+c\omega\equiv{1} \) mod \( 3 \) ;  si establecemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 3 \)  \( \Rightarrow \)  \( 1-1+0 \) .  Entonces  \( \epsilon\alpha^3\equiv{1} \) mod \( 3 \)  -y-  \( \pm\epsilon\equiv 1 \) .  De esta manera,  sólo puede ser:  \( \epsilon=1 \) .  Pero por el Lema I también conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) ,  si éste no lo divide.  Y :  \( a+c\omega\equiv\omega \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon\alpha^3\equiv\omega \) mod \( 2 \) ;  donde  \( \epsilon\equiv\omega \) .  Pero esto no puede ser porque antes demostramos que  \( \epsilon=1 \) .           

Así,  si  \( -c^3=a^3+b^3 \) ,  como  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) ,  como mínimo,  dividirán á  \( c \) (Lema II);  entonces   \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=a^3+b^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) .  Y como  \( a+b \)  -y-  \( (a+b)^2-3ab \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) .   Si divido ahora entre  \( 3^{3k} \)  en ambos lados de la igualdad,  tendré  \( -2^{3l}c`\,^3=\left({\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}}\right)\left({\dfrac{(a+b)^2}{3}-ab}\right) \)  -y :  \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  ,  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  serán cubos.  Como  \( a+b \)  es par,  pues  \( a,b \)  son impares,  voy a llamarlo  \( 2u \)  para un  \( u \)  entero.  De esta forma,  el cubo  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  será igual á  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab \) .   Y si llamo  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) .  Entonces  \( -2^{3l}c`\,^3=2u'\left({\dfrac{4u^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( 2u' \)  será un cubo también.     

Lema III:  Si  \( 2u=a+b \) ,  existe un entero  \( v \)  tal que  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) . 

Operamos:  \( v^2=\dfrac{4u^2}{3}-\dfrac{u^2}{3}-ab \)  -y-  \( v^2=u^2-ab \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}-ab \)  -y-  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4} \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{(a-b)^2}{4} \)  -y-  \( v=\dfrac{a-b}{2} \) . 

A partir de aquí,  podemos llegar a otra suma de 3 cubos igual a cero. 

Sabemos que  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \)  es un cubo y que entonces  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2=\left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \) .  Por lo que nos situamos ahora en el anillo  \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) .   

Lema IV: \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \)  se comporta como un Dominio de Factorización Única para todos sus primos impares.

Conocemos que  \( \mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)\supset\mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \)  -y- que  \( \mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right) \) ,  que representa el Z-orden máximo de  \( \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) \) ,  es un DFU.  Sabemos también que  \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \)  no lo es porque específicamente siendo  \( 2 \)  irreducible en este anillo no es a la vez primo, dado que en la factorización de,  por ejemplo:  \( 4=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}) \) ,  \( 2 \) no divide ni á  \( 1+\sqrt{-3} \)  ni á  \( 1-\sqrt{-3} \) .  Luego para un primo de la forma  \( a+b\sqrt{-3} \) ,  con  \( a,b \)  enteros usuales,  cuya norma  \( a^2+3b^2 \)  es impar; a la vista de lo anterior,  es claro que,  por una parte:  \( 2\notin{\{a_i+b_i\sqrt{-3}}\}\subset{\mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)} \)  -y- que si  \( 2\notin{\mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)} \) ,  entonces:  \( \mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)=\mathbb{Z}(-1+\sqrt{-3})\subset{\mathbb{Z}(\sqrt{-3})} \) .

Como  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \)  es impar por serlo  \( v \)  al ser  \( a+b \)  par como mínimo de  \( 8 \) .  Entonces estamos hablando solamente de primos impares en esta factorización:  \( \left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \)  en  \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) .  Por lo que según el Lema IV,  como  \( v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \)  -y-  \( v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \)  son coprimos y terceras potencias; pues su suma y su diferencia,  respectivamente,  es:  \( 2v \)  -y-  \( \dfrac{2u}{\sqrt{-3}} \)  -y-  \( 4 \)  no divide á  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \) ;  existirá un  \( \epsilon_1\left({p+\dfrac{q}{\sqrt{-3}}}\right)^3=v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \)  -y- un  \( \epsilon_2\left({p-\dfrac{q}{\sqrt{-3}}}\right)^3=v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) ,  para  \( p,q \)  enteros y coprimos -y-  \( \epsilon_1,\epsilon_2 \)  unidades de  \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) .  Luego si  \( s^3=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) ,  entonces:  \( s^3=\epsilon_1\epsilon_2\left(p+\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)^3\left(p-\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)^3 \)  -y-, sin pérdida de generalidad  \( s=\left(p+\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)\left(p-\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)=p^2+\dfrac{q^2}{3} \) ,  dado que las unidades en  \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \)  son  \( \pm 1 \) .  Por lo que:  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2=\left (p^2+\dfrac{q^2}{3}\right )^3 \) .

Lema V: Si  \( \dfrac{a^2}{3}+b^2=\left(c^2+\dfrac{d^2}{3}\right)^3 \) ,  para  \( a,b,c,d \)  enteros;  entonces es siempre cierto que  \( a=3c^2d-\dfrac{d^3}{3} \)  -y-  \( b=c^3-cd^2 \) . 

Sólo hay que hacer las sustituciones:   

\( \dfrac{a^2}{3}+b^2=\dfrac{9c^4d^2+\dfrac{d^6}{9}-2c^2d^4}{3}+c^6+c^2d^4-2c^4d^2= \)   

\( =3c^4d^2+\dfrac{d^6}{27}-\dfrac{2c^2d^4}{3}+c^6+c^2d^4-2c^4d^2= \) 

\( =c^6+c^4d^2+\dfrac{c^2d^4}{3}+\dfrac{d^6}{27}= \)   

\( =\left(c^2+\dfrac{d^2}{3}\right)^3 \)   

Luego por el Lema V,  tendremos que  \( u=3p^2q-\dfrac{q^3}{3} \)  -y-  \( v=p^3-pq^2 \) .  Por lo que:  \( u=q\left(3p^2-\dfrac{q^2}{3}\right) \)  -y-  \( v=p(p^2-q^2) \) .  De manera que  \( p \)  debe ser impar por serlo  \( v \) ,  lo que supone que  \( q \)  debe ser par por serlo  \( u \) .  De esta manera  \( 2u=2q\left(3p^2-\dfrac{q^2}{3}\right) \)  -y-  \( \dfrac{2u}{3^{3k-1}}=\dfrac{2q}{3^{3k-2}}\left(p^2-\dfrac{q^2}{9}\right) \) .  Esto es:  \( 2u'=\dfrac{2q}{3^{3k-2}}\left(p^2-\dfrac{q^2}{9}\right) \) .  Donde sabemos que  \( 2u' \)  es un cubo y que por lo tanto ahora,   \( \dfrac{2q}{3^{3k-2}} \)  -y-  \( p^2-\dfrac{q^2}{9} \)  también lo serán.  Así; como  \( p^2-\dfrac{q^2}{9}=\left(p+\dfrac{q}{3}\right)\left(p-\dfrac{q}{3}\right) \) -y- ambos factores son coprimos;  entonces  \( p+\dfrac{q}{3}-p+\dfrac{q}{3}=\dfrac{2q}{3} \)  representará una posible suma de tres cubos igual a cero, puesto que  \( \dfrac{2q}{3} \)  siempre será un cubo si lo es  \( \dfrac{2q}{3^{3k-2}} \) . Luego:  \( \pmb{a'\,^3+b'\,^3+c'\,^3=0} \) ,  si :  \( a'\,^3=p+\dfrac{q}{3} \) ;  \( b'\,^3=-p+\dfrac{q}{3} \) ;  \( c'\,^3=-\dfrac{2q}{3} \) . 


Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

 Sólo he leído esto:

Lema V: Si  \( \dfrac{a^2}{3}+b^2=\left(c^2+\dfrac{d^2}{3}\right)^3 \) ,  para  \( a,b,c,d \)  enteros;  entonces es siempre cierto que  \( a=3c^2d-\dfrac{d^3}{3} \)  -y-  \( b=c^3-cd^2 \) . 

Sólo hay que hacer las sustituciones:   

\( \dfrac{a^2}{3}+b^2=\dfrac{9c^4d^2+\dfrac{d^6}{9}-2c^2d^4}{3}+c^6+c^2d^4-2c^4d^2= \)   

\( =3c^4d^2+\dfrac{d^6}{27}-\dfrac{2c^2d^4}{3}+c^6+c^2d^4-2c^4d^2= \) 

\( =c^6+c^4d^2+\dfrac{c^2d^4}{3}+\dfrac{d^6}{27}= \)   

\( =\left(c^2+\dfrac{d^2}{3}\right)^3 \)   

 pero... ahí lo que pruebas es la implicación opuesta a la que dices:

Si \( a=3c^2d-\dfrac{d^3}{3} \)  -y-  \( b=c^3-cd^2 \) entonces  \( \dfrac{a^2}{3}+b^2=\left(c^2+\dfrac{d^2}{3}\right)^3 \).

 Pero en el Lema V lo enuncias al revés y, yo no sé si es cierto o no, pero desde luego es mucho más delicado que sólo "hacer cuentas".

Saludos.