[Fernando Moreno]

Hola Luis,

Intentará mirarlo con más calma cuando tenga tiempo. Pero te sugiero que lo revises.

Pues es una lástima. Todo parece indicar que el fallo estaría en el Lema II, que es la parte más delicada y central a parte del propio Lema de Euler, claro. Lo he repasado por encima y no veo todavía el fallo. Ya mañana cuando tenga más tiempo lo seguiré analizando. Un saludo y gracias por la revisión

[Luis Fuentes]

Hola

Pues es una lástima. Todo parece indicar que el fallo estaría en el Lema II, que es la parte más delicada y central a parte del propio Lema de Euler, claro. Lo he repasado por encima y no veo todavía el fallo. Ya mañana cuando tenga más tiempo lo seguiré analizando. Un saludo y gracias por la revisión

Con los valores de \( a',b',c \)' que escoges al final, ¿dónde pruebas la relación \( a'^3+b'^3+c'^3=0 \)?. No lo veo claro.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Vale, creo que ya se lo que pasa. Simplemente tienes una errata al final.

Y lo mismo:  \( p+q \)  -y-  \( p-q \) .  Luego:  \( p+q-p+q=2q \)  representará una suma de tres cubos igual a cero menores que los de la ecuación de partida,  si:  \( a'=p+q \) ;  \( b'=-(p-q) \) ;  \( c'=-2q \)  -y- :  \( \pmb{a'\,^3+b'\,^3+c'\,^3=0} \) .         

Sería:

\( a'^3=p+q \) ;  \( b'^3=-(p-q) \) ;  \( c'^3=-2q \)

Confírmame que es así y cuando tenga tiempo le echo un vistazo al resto.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola,

 Vale, creo que ya se lo que pasa. Simplemente tienes una errata al final.

Sería:

\( a'^3=p+q \) ;  \( b'^3=-(p-q) \) ;  \( c'^3=-2q \)

Confírmame que es así y cuando tenga tiempo le echo un vistazo al resto.

Sí, es así. Disculpa, qué burro. Lo corrijo. Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Estoy revisando en detalle tu demostración. En general toda la redacción de este lema me resulta confusa.

Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide al cubo que es par.   

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tendremos que:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad -y-  \( \alpha^3 \)  un cubo entero de Eisenstein.  Como  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) ,  si éste no lo divide (Lema I) -y- : \( a+c\omega\equiv{1} \) mod \( 3 \) ;  si establecemos, sin pérdida de generalidad, que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 3 \)  \( \Rightarrow \)  \( 1-1+0 \) .  Entonces  \( \epsilon\alpha^3\equiv{1} \) mod \( 3 \)  -y-  \( \pm\epsilon\equiv 1 \) .  De esta manera,  sólo puede ser:  \( \epsilon=1 \) .  Pero por el Lema I también conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) ,  si éste no lo divide.  Y :  \( a+c\omega\equiv\omega \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon\alpha^3\equiv\omega \) mod \( 2 \) ;  donde  \( \epsilon\equiv\omega \) .  Pero esto no puede ser porque antes demostramos que  \( \epsilon=1 \) .           

 Lo que he marcado en rojo, ¿es una suposición o una afirmación? Si es una afirmación, ¿en qué se basa?.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola Luis,

Estoy revisando en detalle tu demostración. En general toda la redacción de este lema me resulta confusa.

¡Muchas gracias por la revisión! Disculpa por la redacción.

Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide al cubo que es par.   

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tendremos que:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad -y-  \( \alpha^3 \)  un cubo entero de Eisenstein.  Como  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) ,  si éste no lo divide (Lema I) -y- : \( a+c\omega\equiv{1} \) mod \( 3 \) ;  si establecemos, sin pérdida de generalidad, que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 3 \)  \( \Rightarrow \)  \( 1-1+0 \) .  Entonces  \( \epsilon\alpha^3\equiv{1} \) mod \( 3 \)  -y-  \( \pm\epsilon\equiv 1 \) .  De esta manera,  sólo puede ser:  \( \epsilon=1 \) .  Pero por el Lema I también conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) ,  si éste no lo divide.  Y :  \( a+c\omega\equiv\omega \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon\alpha^3\equiv\omega \) mod \( 2 \) ;  donde  \( \epsilon\equiv\omega \) .  Pero esto no puede ser porque antes demostramos que  \( \epsilon=1 \) .           

 Lo que he marcado en rojo, ¿es una suposición o una afirmación? Si es una afirmación, ¿en qué se basa?.

Es una afirmación. Se basa en que sin perder generalidad yo puedo establecer que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 3 \)  \( \Rightarrow \)  \( 1-1+0 \) .  De donde  \( a\equiv 1 \) mod \( 3 \) .  Pero realmente no hace falta y añade confusión, es cierto. Intento redactarlo un poco mejor:

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tendremos que  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein, puesto que  \( 3 \)  no divide á  \( -b^3 \)  -y- todos los factores de la derecha de la igualdad son coprimos. Luego  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Como  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) ,  si éste no lo divide (Lema I) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Pero por el Lema I también conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) ,  si éste no lo divide.  De esta manera:  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .

Creo que ahora está mejor, andaba muy pasado de vueltas cuando lo hice.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tendremos que  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein, puesto que  \( 3 \)  no divide á  \( -b^3 \)  -y- todos los factores de la derecha de la igualdad son coprimos. Luego  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Como  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) ,  si éste no lo divide (Lema I) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Pero por el Lema I también conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) ,  si éste no lo divide.  De esta manera:  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .

Vale. Ahora así (con un matiz que te digo después), aunque la redacción aún no me entusiasma. Por ejemplo, ¿la frase en rojo no quedaría mejor así?:

Como \( 3 \) no divide a \( \alpha^3 \) entonces por el Lema 1,   \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) .

El matiz es: me falta que pruebes que los factores \( (a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) son coprimos.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola, procedo

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tendremos que  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein, puesto que  \( 3 \)  no divide á  \( -b^3 \)  -y- todos los factores de la derecha de la igualdad son coprimos. Luego  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Como  \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) ,  si éste no lo divide (Lema I) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Pero por el Lema I también conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) ,  si éste no lo divide.  De esta manera:  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .

Vale. Ahora así (con un matiz que te digo después), aunque la redacción aún no me entusiasma. Por ejemplo, ¿la frase en rojo no quedaría mejor así?:

Como \( 3 \) no divide a \( \alpha^3 \) entonces por el Lema 1,   \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) .

El matiz es: me falta que pruebes que los factores \( (a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) son coprimos.

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)((a+c)^2-3ac)=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) .  Tenemos que  \( a+c \)  -y-  \( (a+c)^2-3ac \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) ,  pero que como  \( 3 \)  no divide á  \( -b^3 \) ,  serán coprimos y terceras potencias. Y tenemos también que  \( a+c\omega \)  -y-  \( a+c\omega^2 \)  deben ser coprimos; puesto que de su suma:  \( a+c\omega+a+c\omega^2=2a-c \)  -y- de su diferencia:  \( a+c\omega-a-c\omega^2=c+2c\omega=c(1+2\omega) \) ,  se desprende que ni  \( c \) ,  del segundo resultado, ni  \( 1+2\omega \) ,  que es un asociado de  \( \omega-1 \)  -y- por tanto divisor de  \( 3 \) , dividen ambos á  \( 2a-c \) .  Por tanto,  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein. De esta manera:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Y como si  \( 3 \)  no divide a \( \alpha^3 \) ,  por el Lema 1,   \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Además, como si  \( 2 \)  no divide á  \( \alpha^3 \) , también por el Lema I, conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .  Tendremos que  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .


Lo que haga falta más en aras de la claridad, disculpas. Un cordial saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)((a+c)^2-3ac)=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) . Tenemos que  \( a+c \)  -y-  \( (a+c)^2-3ac \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) ,  pero que como  \( 3 \)  no divide á  \( -b^3 \) ,  serán coprimos y terceras potencias. Y tenemos también que  \( a+c\omega \)  -y-  \( a+c\omega^2 \)  deben ser coprimos; puesto que de su suma:  \( a+c\omega+a+c\omega^2=2a-c \)  -y- de su diferencia:  \( a+c\omega-a-c\omega^2=c+2c\omega=c(1+2\omega) \) ,  se desprende que ni  \( c \) ,  del segundo resultado, ni  \( 1+2\omega \) ,  que es un asociado de  \( \omega-1 \)  -y- por tanto divisor de  \( 3 \) , dividen ambos á  \( 2a-c \) .  Por tanto,  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein. De esta manera:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Y como si  \( 3 \)  no divide a \( \alpha^3 \) ,  por el Lema 1,   \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Además, como si  \( 2 \)  no divide á  \( \alpha^3 \) , también por el Lema I, conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .  Tendremos que  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .

 Todavía tienes que afinar un poco más creo; \( 3 \) no es primos como entero de Eisenstein. Entonces un posible factor común de los términos que he marcado en rojo es \( 1-\omega \).

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola, ok

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)((a+c)^2-3ac)=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) . Tenemos que  \( a+c \)  -y-  \( (a+c)^2-3ac \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) ,  pero que como  \( 3 \)  no divide á  \( -b^3 \) ,  serán coprimos y terceras potencias. Y tenemos también que  \( a+c\omega \)  -y-  \( a+c\omega^2 \)  deben ser coprimos; puesto que de su suma:  \( a+c\omega+a+c\omega^2=2a-c \)  -y- de su diferencia:  \( a+c\omega-a-c\omega^2=c+2c\omega=c(1+2\omega) \) ,  se desprende que ni  \( c \) ,  del segundo resultado, ni  \( 1+2\omega \) ,  que es un asociado de  \( \omega-1 \)  -y- por tanto divisor de  \( 3 \) , dividen ambos á  \( 2a-c \) .  Por tanto,  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein. De esta manera:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Y como si  \( 3 \)  no divide a \( \alpha^3 \) ,  por el Lema 1,   \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Además, como si  \( 2 \)  no divide á  \( \alpha^3 \) , también por el Lema I, conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .  Tendremos que  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .

 Todavía tienes que afinar un poco más creo; \( 3 \) no es primos como entero de Eisenstein. Entonces un posible factor común de los términos que he marcado en rojo es \( 1-\omega \).

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  divide á  \( a \)  -y- que  \( 3^k \)  divide á  \( c \) .  Entonces,  como  \( -b^3=a^3+c^3 \)  -y-  \( -b^3=(a+c)((a+c)^2-3ac)=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) . Tenemos que  \( a+c \)  -y-  \( (a+c)^2-3ac \)  son coprimos salvo por  \( 3 \)  -y- por tanto  \( \lambda=1-\omega \)  de:  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) . Pero que como  \( 3 \)  -y- por tanto  \( \lambda \) ,  no dividen á  \( -b^3 \) ,  ni á  \( a+c \)  ó  \( (a+c)^2-3ac \) , estos dos últimos factores serán coprimos y terceras potencias. Pero tenemos también que  \( a+c\omega \)  -y-  \( a+c\omega^2 \)  deben ser coprimos; puesto que de su suma:  \( a+c\omega+a+c\omega^2=2a-c \)  -y- de su diferencia:  \( a+c\omega-a-c\omega^2=c+2c\omega=c(1+2\omega) \) ,  se desprende que ni  \( c \) ,  del segundo resultado, ni  \( 1+2\omega \) ,  que es un asociado de  \( 1-\omega \)  -y- por tanto divisor de  \( 3 \) , dividen ambos á  \( 2a-c \) .  Por tanto,  \( a+c\omega \)  será un cubo entero de Eisenstein. De esta manera:  \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) ,  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Y como si  \( 3 \)  no divide a \( \alpha^3 \) ,  por el Lema 1,   \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) .  Entonces  \( a+c\omega\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \)  -y-  \( a\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 3 \) .  Así,  \( \epsilon \)  sólo podrá ser  \( \pm 1 \) ,  puesto que  \( a \)  es un entero usual. Además, como si  \( 2 \)  no divide á  \( \alpha^3 \) , también por el Lema I, conocemos que  \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .  Tendremos que  \( a+c\omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \)  -y-  \( \omega\equiv{\epsilon} \) mod \( 2 \) ,  puesto que  \( c \)  debe ser impar. Pero esto no puede ser porque antes vimos que  \( \epsilon=\pm 1 \) .

Un saludo,