[Hauss]

Hola, necesito ayuda para el siguiente problema:
“Sea \( x=acos^{3}t \) e \( y=asen^{3}t \) calcular la recta tangente en \( t=\pi/2 \)”
Pero no puedo usar la formula que implica la derivada ya que no esta definida en ese punto.

[Juan Pablo Sancho]

Toma \( \alpha(t) = (x(t),y(t)) = a \cdot (\cos^3(t),\sen^3(t))  \).
Tienes que \( \alpha'(t) \) es el vector tangente en el punto \( t \)
La recta tangente en un punto es \( r(s) = \alpha(t) + s \cdot \alpha'(t)  \).

[Hauss]

Toma \( \alpha(t) = (x(t),y(t)) = a \cdot (\cos^3(t),\sen^3(t))  \).
Tienes que \( \alpha'(t) \) es el vector tangente en el punto \( t \)
La recta tangente en un punto es \( r(s) = \alpha(t) + s \cdot \alpha'(t)  \).

Hola, no puedo hacer eso ya que esa fórmula solo esta definida cuando \( \alpha’(t)\neq{0} \)

[Juan Pablo Sancho]

Si tienes razón,no se puede usar eso , el candidato es el vector \( (0,1) \)
La recta tangente es \(  T(t) = t \cdot (0,1)  \)

[Hauss]

Si tienes razón,no se puede usar eso , el candidato es el vector \( (0,1) \)
La recta tangente es \(  T(t) = t \cdot (0,1)  \)

Pero como se llega a ese resultado?

[Juan Pablo Sancho]

Una forma es ver la gráfica:
Astroide.

[delmar]

Hola

Otra forma es utilizar la definición de la derivada de y respecto a x : \( y'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{a \ sen^3(\pi/2 + h)-a \ sen^3(\pi/2)}{a \ cos^3(\pi/2+h)-a \  cos^3(\pi/2)}} \), en este caso arroja un valor; en lugar de la incertidumbre de la derivada de \( \alpha \), la cual es una función vectorial de variable escalar.Al final lo que piden es y'(x), por lo tanto es válido.


Saludos

[Hauss]

Hola

Otra forma es utilizar la definición de la derivada de y respecto a x : \( y'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{a \ sen^3(\pi/2 + h)-a \ sen^3(\pi/2)}{a \ cos^3(\pi/2+h)-a \  cos^3(\pi/2)}} \), en este caso arroja un valor; en lugar de la incertidumbre de la derivada de \( \alpha \), la cual es una función vectorial de variable escalar.Al final lo que piden es y'(x), por lo tanto es válido.


Saludos

Disculpa mi ignorancia pero como llegas a esa definición?

[hméndez]

Hola

Otra forma es utilizar la definición de la derivada de y respecto a x : \( y'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{a \ sen^3(\pi/2 + h)-a \ sen^3(\pi/2)}{a \ cos^3(\pi/2+h)-a \  cos^3(\pi/2)}} \), en este caso arroja un valor; en lugar de la incertidumbre de la derivada de \( \alpha \), la cual es una función vectorial de variable escalar.Al final lo que piden es y'(x), por lo tanto es válido.


Saludos

¡Cuidado! delmar, pero creo que ese límite no existe
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Yo diría que la respuesta más sensata a este problema es que la recta tangente buscada no existe. De esto se puede dar cuenta uno incluso si
decide aplicar definiciones analíticas de derivadas.

Viendo el asunto de una manera menos formal...se trata de encontrar una recta que sea tangente a la curva astroide en su vértice superior
y de esto se sabe que en vértices que son puntos "anguloso" no existe recta tangente.

https://es.wikipedia.org/wiki/Astroide

Saludos

[delmar]

En realidad es un problema para pensar, considerando solamente la determinación de una recta tangente desde el punto de vista geométrico.

La definición de derivada para \( y=f(x) \) en \( x_0 \) implica : \( y'(x_0)=\displaystyle\lim_{u \to{}0}{\displaystyle\frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{(x_0+u)-x_0}} \); pero en este caso \( x=g(t), \ y=r(t)\Rightarrow{x_0=g(t_0), \ y_0=f(x_0)=f(g(t_0))=r(t_0), \ x_0+u=g(t_0+h), \ f(x_0+u)=f(g(t_0+h))=r(t_0+h)} \)

En consecuencia : \( \displaystyle\frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{(x_0+u)-x_0}=\displaystyle\frac{r(t_0+h)-r(t_0)}{g(t_0+h)-g(t_0)} \)

En este caso \( t_0=\pi/2, x=g(t)=a cos^3t, \ y=r(t)=a sen^3t \) la existencia del límite cuando h tiende a cero va a implicar la existencia de \( y'(0) \) ¿Existe ese límite? NO, como dice hméndez; pero si existen los límites laterales (\( +\infty \ y \ -\infty \)) y geométricamente se corresponden con el eje Y, este eje es tangente a la rama derecha y a la rama izquierda de la curva; pero no a la curva como un todo.

Saludos