[Buscón]

Demuestra que entre todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene mayor área es un cuadrado.

[sugata]

\( P=2a+2b \)
Despeja a o b.
\( A=ab \)
Sustituye para que sólo quede una incognita y deriva e iguala a 0.
Te va a salir que ese lado será un cuarto del perímetro.

EDITO: Esto sólo es válido para rectángulos y el enunciado pide paralelogramos.

[Buscón]

Mi solución:

\( \left.\begin{array}\;P=2x+2y\\A=x\cdot{y}\end{array}\right\}\Rightarrow{\left.\begin{array}\;P=2x+\displaystyle\frac{2A}{x}\\y=\displaystyle\frac{A}{x}\end{array}\right\}}\Rightarrow{A(x)=\displaystyle\frac{xP-2x^2}{2}}=\displaystyle\frac{xP}{2}-x^2 \),

\( A'(x)=\displaystyle\frac{2P}{4}-2x=\displaystyle\frac{P}{2}-2x \),

\( \displaystyle\frac{P}{2}-2x=0\Rightarrow{x=\displaystyle\frac{P}{4}} \)      c.q.d.

Saludos.

[Buscón]

\( P=2a+2b \)
Despeja a o b.
\( A=ab \)
Sustituye para que sólo quede una incognita y deriva e iguala a 0.
Te va a salir que ese lado será un cuarto del perímetro.

EDITO: Esto sólo es válido para rectángulos y el enunciado pide paralelogramos.

Si, gracias, ya está corregido. Fuiste más rápido que yo.

Saludos.

[sugata]

Te complicas en el primer término al derivar.
\( (\dfrac{P} {2}x)^{\prime}=\dfrac{P} {2} \)
Fíjate que \( \dfrac{P} {2}   \) es una constante.

[robinlambada]

Hola, una demostración geométrica, la podéis ver en mi respuesta 8,  a un problema similar, pero en esencia idéntico.

Aunque es sobre triángulos, en la animación hay 4 rectángulos ( base =a y altura=h, inscritos en un cuadrado de lado fijo \( a+h=semiperímetro=cte \)).

El área de cada rectángulo de perímetro fijo es máxima cuando es mínima el del cuadrado interior, es decir \( A_{int}=0\Leftrightarrow{}a=h \)

El enlace:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=91927.msg372010#msg372010

Saludos.

[Buscón]

Te complicas en el primer término al derivar.
\( (\dfrac{P} {2}x)^{\prime}=\dfrac{P} {2} \)
Fíjate que \( \dfrac{P} {2}   \) es una constante.

Es cierto! Muchas gracias. A veces lo más simple es lo más complicado de ver. Saludos.

[sugata]

Te complicas en el primer término al derivar.
\( (\dfrac{P} {2}x)^{\prime}=\dfrac{P} {2} \)
Fíjate que \( \dfrac{P} {2}   \) es una constante.

Es cierto! Muchas gracias. A veces lo más simple es lo más complicado de ver. Saludos.

Te comenté algo parecido a en otro hilo hace poco con una resolución de una ecuación cuadrática sin término independiente.
Busca esos atajos.

[robinlambada]

Otro punto de vista para demostrar que de todos los rectángulos de igual semiperímetro, el cuadrado es el de mayor área, la da la desigualdad aritmético-geométrica.

Os dejo un enlace. Aunque yo parto de lo contrarío, de que se que de los rectángulos de perímetro dado es el cuadrado el de máxima área, paar probar la desigualdad, se puede hacer al revés, partir de la desigualdad para probar que la solución es el cuadrado.

se generaliza para para prismas e hiperprismas.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83798.msg335955#msg335955

Saludos.

[Buscón]

El ejercicio está planteado en el contexto de los teoremas de Bolzano, Weierstrass, Rolle, Lagrange y Cauchy donde se analizan funciones usando sus derivadas.

Entiendo que la solución que yo aporto no es del todo correcta en este contexto.

¿Y si la solución de la ecuación    \( \displaystyle\frac{P}{2}-2x \),    \( x=\displaystyle\frac{P}{4} \),    no fuese un extremo de la función    \( A(x)=\displaystyle\frac{xP}{2}-x^2 \)?

¿Y si fuese un extremo pero no fuese un máximo sino un mínimo?

Es decir, faltaría probar estos términos, aún cuando en este caso son obvios. ¿No?

Saludos.