[Raúl Aparicio Bustillo]

¿Por qué no pueden existir demostraciones formadas por infinitos pasos? Si los númeramos según los números hiperenteros, podemos saber cuál es la última fórmula (precisamente la fórmula a demostrar), que es precisamente el enunciado a demostrar. Estas demostraciones corresponderán a números finitos no estandar

Esto viene del hecho de la demostración de  ¬Cons(T) . Si  ¬Cons(T) se interpreta como existe un x que demuestra que 0=1 (por poner una contradicción cualquiera), ¿no debería ser indiferente que x fuera no estandar o no?. ¿Por qué los números de GÖdel no estandar no codifican demostraciones, pues hay demostraciones no finitistas en algunos sistemas lógicos?


En el libro de Gödel para Todos, dicen que cualquier demostración de una axiomática recursiva puede hacerse en un número finito de pasos, ¿esto es así?

Saludos

[feriva]

¿Por qué no pueden existir demostraciones formadas por infinitos pasos? Si los númeramos según los números hiperenteros, podemos saber cuál es la última secuencia, que es precisamente el enunciado a demostrar. Estas demostraciones corresponderán a números finitos no estandar

Esto viene del hecho de la demostración de  ¬Cons(T) . SI  ¬Cons(T) se interpreta como existe un x que demuestra que 0=1 (por poner una contradicción cualquiera), ¿no debería ser indiferente que x fuera no estandar o no?. ¿Por qué los números de GÖdel no estandar no codifican demostraciones, pues hay demostraciones no finitistas en algunos sistemas lógicos?

Saludos

Hola Sailor. Se puede demostrar una cosa para "el último", pero eso no es lo mismo que demostrarla para "todos". El infinito no tiene último, por definición.

 Cuando se prueba algo por inducción, se hace la hipótesis para un número "n" y se comprueba que se cumpla para su siguiente (n+1) [también se comprueba para 1 de forma particular, dado que es un número especial al no afectarle las potencias y al ser neutro para el producto, y ocurre a veces que una condición que se cumple para "n" y su siguiente no se cumple para 1]. Es frecuente que muchas personas, equivocadamente, crean que ese "n" representa el "último" o que es un número que tiende a infinito. Esto no es así, "n" es cualquier natural; grande, mediano, pequeño o medio pequeño. Lo que se está demostrando vale -si se demuestra, claro- para cualquier número y su siguiente, no para el "último", porque no hay último cuando hay infinitos números.

Un saludo.