Hola
Te ayudo con f(x)
\( f(x)=ln(x+1) \)
\( f'(x)=\displaystyle\frac{1}{x+1} \)
\( f''(x)=\displaystyle\frac{-1}{(x+1)^2} \)
\( f'''(x)=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^3} \)
\( f^{iv}(x)=\displaystyle\frac{-(3)2}{(x+1)^4} \)
\( f^{v}(x)=\displaystyle\frac{4(3)2}{(x+1)^5} \)
Se induce (se puede demostrar) que \( f^k(x)=\displaystyle\frac{(k-1)! \ (-1)^{k+1}}{(x+1)^k} \)
El teorema de Taylo, aproximando en x=0, con un grado n implica :
\( f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{f^k(0)}{k!}x^k}+\displaystyle\frac{f^{n+1}(\lambda) \ x^{k+1}}{(k+1)!} \)
Donde el segundo término es el error y \( \lambda\in{[0,x]} \), para calcular 1.5 se tiene que x=0.5, con 7 cifras decimales por redondeo se cumple :
\( \left |{\displaystyle\frac{f^{n+1}(\lambda) \ x^{n+1}}{(n+1)!}}\right |\leq{0.5(10^{-8})}\Rightarrow{(\displaystyle\frac{1}{n+1}) \ (\displaystyle\frac{0.5}{\lambda+1})^{n+1}}\leq{0.5(10)^{-8}} \) creo que ahí ya puedes obtener el n
Para el segundo caso de \( \displaystyle\frac{1+x}{1-x}=1.5 \) se puede despejar x y se puede poner \( g(x)=ln(1+x)-ln(1-x) \) y encontrar la aproximación polinómica con su error respectivo y encontrar n para que cumpla la condición de error.
Saludos
