[SimónH]

Hola buenas, tenia una duda no sé si existe el siguiente límite:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - e^{\sin(x)}}}{{x - \sin(x)}} \]

He hecho L'Hôpital y el resultado me da 1 pero al graficarlo en Geogebra se pone a oscilar en torno al 1. No sé si lo he aplicado mal o una función puede oscilar entorno a un punto y existir. Alguien me puede decir si es 1 o no existe?

Muchas gracias un saludo.

[manooooh]

Hola SimónH, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola buenas, tenia una duda no sé si existe el siguiente límite:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - e^{\sin(x)}}}{{x - \sin(x)}} \]

He hecho L'Hôpital y el resultado me da 1 pero al graficarlo en Geogebra se pone a oscilar en torno al 1. No sé si lo he aplicado mal o una función puede oscilar entorno a un punto y existir. Alguien me puede decir si es 1 o no existe?

Muchas gracias un saludo.

Luego de aplicar L'Hopital unas 3 veces obtengo lo que tú obtuviste, y en GeoGebra no me sale eso de que oscila en torno al 1. Tampoco parece serlo en WolfamAlpha que grafica la función y no tiene oscilaciones:

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+x+goes+0+of+%28e%5Ex-e%5E%28sin%28x%29%29%29%2F%28x-sin%28x%29%29&lang=es

Saludos

[electron]

Hola.

La función tiene oscilaciones debidas a los términos seno; lo que sucede es que para x grandes se ven superadas por la exponencial \( e^x \) y ya no se ven, mientras que para x pequeños y negativos la exponencial tiende a 0 y domina la parte trigonométrica.

En todo caso, los límites laterales cuando \( x\rightarrow{0} \) por la izquierda y por la derecha son ambos \( 1 \) y en esto no influye que haya oscilación o no, simplemente la función "cae ahí en el \( 1 \)" por ambos lados, oscile o no.



Saludos

[SimónH]

Muchas gracias por vuestras respuestas, yo me refería a que oscila para valores muy cercanos a 0 (del orden de 0.0001) como podeís ver en la captura que he adjuntado.

[electron]

Muchas gracias por vuestras respuestas, yo me refería a que oscila para valores muy cercanos a 0 (del orden de 0.0001) como podeís ver en la captura que he adjuntado.

La función oscila siempre; puedes observar lo que pasa fuera del 0 si te acercas lo suficiente:



Esta función es muy "áspera" en el sentido de que no va tomando valores suavemente. En torno al 0 las oscilaciones son algo más evidentes porque estamos cerca del punto crítico que anula el denominador.

Saludos

[martiniano]

Hola.

La verdad es que yo ahora mismo no veo que la función tenga que hacer esas oscilaciones, las pequeñas. Diría que Geogebra se está equivocando al dibujar la función. Quizás cometa errores de precisión en el cálculo que por algún motivo se irán acumulando.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Desde luego la oscilación en \( 0 \) es por errores de redondeo como consecuencia de que \( x-sin(x)\sim o(x^3) \).

 Fuera del \( 0 \) todavía tienen menos sentido que aparezcan.

 Tengamos en cuenta que el período del seno es \( 2\pi \); entonces no hay oscilaciones "infinitesimales".

 Cosa distinta es cuando en una función aparece algo del tipo \( sin(1/x) \).

Saludo