[Frankoper]

Hola a todos!
Tengo un par de dudas,

No entiendo a que se refiere el siguiente enunciado:

-Muestre que la función de ley \( f(x,y)= \dfrac{x-y}{x+y} \) no posee limite en los puntos de la recta \( y+x=0 \)
 
y la segunda consulta es, porqué se puede usar coordenadas polares para determinar un limite en varias variables, o algún tipo de lectura que me recomienden del tema. No llego a darme cuenta porque se puede utilizar esa estrategia.

Muchas Gracias!

[ancape]

No entiendo a que se refiere el siguiente enunciado:

-Muestre que la función de ley \( f(x,y)= \dfrac{x-y}{x+y} \) no posee limite en los puntos de la recta \( y+x=0 \)
 
y la segunda consulta es, porqué se puede usar coordenadas polares para determinar un limite en varias variables, o algún tipo de lectura que me recomienden del tema. No llego a darme cuenta porque se puede utilizar esa estrategia.

Hola

Si analizas los puntos de la recta \( x+y=0 \), salvo en (0,0) el denominador es 0 y el numerador no. Eso te debe decir algo. En (0,0) si tomo el camino x+y=0.....

En cuanto a la segunda cuestión, ten en cuenta que las coordenadas de los puntos son una manera de trabajar con ellos, pero los puntos del plano tienen entidad propia independiente de las coordenadas que se utilicen para trabajar con ellos.

Las coordenadas polares tienen la ventaja de que cualquier camino que conduzca al origen de obtiene haciendo tender el módulo del radio vector \( \rho \) a cero independientemente de como lo haga el argumento \( \theta \) así un límite en el cual tenemos dos variables (usando coordenadas cartesianas) se convierte en un límite de una variable. Un inconveniente de las coordenadas polares es que suele encontrarse uno con expresiones complicadas cuando se expresa la función a tratar en polares.

Saludos

Añadido después del comentario anterior

En el ejemplo que pones, si escribes \( f(x,y) \) en polares, tendremos \( f=\displaystyle\frac{\rho(Cos(\theta)-Sin(\theta))}{\rho(Cos(\theta)+Sin(\theta))} = \displaystyle\frac{Cos(\theta)-Sin(\theta)}{Cos(\theta)+Sin(\theta)}  \). Esta expresión no depende de \( \rho \) sólo de \( \theta \) y toma valores diferentes según el camino que se recorra para llegar al origen. No existe pues el límite cuando se tiende a \( (0,0) \)

Si queremos obtener el límite \( \displaystyle\lim_{x \to{(0,0)}}{(x^2+y^2)} \) y trabajamos directamente en coordenadas cartesianas, deberíamos considerar TODOS los caminos que conducen al origen, sin embargo pasando a polares tendremos \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\rho^2(Cos(\theta)^2+Sin(\theta)^2)}=\displaystyle\lim_{\rho \to{0}}{\rho^2}=0 \)

[delmar]

Hola

Observa que esa función no esta definida en los puntos \( (x_0,y_0) \ / \ x_0+y_0=0 \), averigua si existe el límite acercándote por la recta \( y=y_0 \) es decir evalúa \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{\displaystyle\frac{x-y_0}{x+y_0}} \) observa que la función si esta definida en esa recta (no es necesario que este definida en \( x_0+y_0=0 \)) y en consecuencia en caso existe el límite \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(x_0,y_0)}{f(x,y)}=L \) para algún \( (x_0,y_0) \) ha de existir también el límite por la recta \( y=y_0 \), lo mismo también ocurrirá para la recta \( x=x_0 \), averigua.

Para analizar el límite de fj se puede usar cualquier curva parámetrica que pasa por el punto \( (x_0,y_0) \) un caso particular es cuando se parametriza en coordenadas polares.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si analizas los puntos de la recta \( x+y=0 \), salvo en (0,0) el denominador es 0 y el numerador no. Eso te debe decir algo. En (0,0) si tomo el camino x+y=0.....

 Una observación: el camino \( x+y=0 \) no dice nada en este caso, porque sobre esa recta no está definida la función.

 Para ver que en \( (0,0) \) no hay límite está bien por ejemplo usar coordenadas polares, como indica ancape después o por trayectorias \( y=mx \) con \( m\neq -1 \).

 En cuanto al cálculo del límite por polares te puede interesar este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118351.0

Saludos.

[ancape]

Hola

Si analizas los puntos de la recta \( x+y=0 \), salvo en (0,0) el denominador es 0 y el numerador no. Eso te debe decir algo. En (0,0) si tomo el camino x+y=0.....

 Una observación: el camino \( x+y=0 \) no dice nada en este caso, porque sobre esa recta no está definida la función.

 Para ver que en \( (0,0) \) no hay límite está bien por ejemplo usar coordenadas polares, como indica ancape después o por trayectorias \( y=mx \) con \( m\neq -1 \).

 En cuanto al cálculo del límite por polares te puede interesar este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118351.0

Saludos.

Hola

Me parece bien tu observación de que en la recta \( x+y=0 \) no está definida la función y por eso ponía los puntos suspensivos, para que el que hace la pregunta saque sus conclusiones no para que las saques tú. Creo que el foro no debe estar para resolver completamente problemas sino para dar pistas y caminos que conduzcan a la resolución por parte del que pregunta.

Ya que ha salido a colación el límite de una función no definida en algunos caminos que conducen al punto en que se quiere tratar, ¿Qué opinas del \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\sqrt[ ]{x+y}} \). La función no está definida en \( x+y<0 \) y sin embargo al pasarla a polares se tiene \( \displaystyle\lim_{\rho\to{0}}{\sqrt[ ]{\rho}}=0 \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Me parece bien tu observación de que en la recta \( x+y=0 \) no está definida la función y por eso ponía los puntos suspensivos, para que el que hace la pregunta saque sus conclusiones no para que las saques tú.  Creo que el foro no debe estar para resolver completamente problemas sino para dar pistas y caminos que conduzcan a la resolución por parte del que pregunta.

El foro está para ambas cosas; está muy bien dar indicaciones y a veces está bien presentar la solución completa. No ponemos restricciones en ese sentido.

Todo el mundo es libre de comentar lo que otros dicen, no sólo el que hace la pregunta.

¿Qué opinas del \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\sqrt[ ]{x+y}} \). La función no está definida en \( x+y<0 \) y sin embargo al pasarla a polares se tiene \( \displaystyle\lim_{\rho\to{0}}{\sqrt[ ]{\rho}}=0 \)

Supongo que es una errata. Opino que al pasar a polares no quedaría eso, si no:

\( \displaystyle\lim_{\rho\to{0}}\sqrt[ ]{\rho(cos(\theta)+sin(\theta))}=0 \)

que no está definido para todos los valores de \( \theta \). Habría que considerar \( \theta\in [-\pi/4,3\pi/4] \).

En cualquier caso:

 \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\sqrt[ ]{x+y}}=0 \).

Saludos.

[ancape]

.....
Supongo que es una errata. Opino que al pasar a polares no quedaría eso, si no:

\( \displaystyle\lim_{\rho\to{0}}\sqrt[ ]{\rho(cos(\theta)+sin(\theta))}=0 \)

que no está definido para todos los valores de \( \theta \). Habría que considerar \( \theta\in [-\pi/4,3\pi/4] \).

En cualquier caso:

 \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\sqrt[ ]{x+y}}=0 \).

Hola
No era una errata, tal vez debería indicar que se toma la raíz positiva de \( x+y \). Pasando a polares tendremos \( \sqrt[ ]{\rho(Cos(\theta)-Sin(\theta)} \)\( \leq\sqrt[ ]{2\rho} \).

En todo caso, no está respondida explícitamente la pregunta ¿A pesar de no estar definida la función x+y en proximidades de (0,0) existe límite?. La puntualización que me hiciste antes me pareció (tal vez me equivoqué) que rebatías la existencia o no de límite pues hablaba de un camino \( x+y=0 \) en el que no estaba definida la función.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No era una errata, tal vez debería indicar que se toma la raíz positiva de \( x+y \).

mmmm.. lo que yo decía no tiene nada que ver con que se tome la raíz positiva, que lo di por supuesto. La errata consideré que estaba al decir que queda \( \displaystyle\lim_{\rho\to{0}}{\sqrt[ ]{\rho}}=0 \). Pero bueno, quieres decir que te referías a esta acotación.

Pasando a polares tendremos \( \sqrt[ ]{\rho(Cos(\theta)-Sin(\theta)} \)\( \leq\sqrt[ ]{2\rho} \).

Bien (aunque es más en lugar de menos)

En todo caso, no está respondida explícitamente la pregunta ¿A pesar de no estar definida la función x+y en proximidades de (0,0) existe límite?

.

Pues podrías haberlo preguntado directamente. No obstante SI te contesté implícitamente a eso:

En cualquier caso:

 \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\sqrt[ ]{x+y}}=0 \).

ya dije ahí que el límite es cero y por tanto existe.

La puntualización que me hiciste antes me pareció (tal vez me equivoqué) que rebatías la existencia o no de límite pues hablaba de un camino \( x+y=0 \) en el que no estaba definida la función.

 No. Fíjate que analizar un límite sobre un camino, en principio solo sirve para probar que no existe; en la medida que si el límite existe en el camino, aun así pudiera no existir en general. Entonces lo que quise decir es que ese camino \( x+y=0 \) no aportaba ninguna información porque la función no está definida sobre él.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Para el primero puedes usar que para cualquier punto \( (a,-a) \) podemos hacer \( y = -x + (x-a)^2 \) entonces:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} |\dfrac{x-(-x + (x-a)^2)}{x-x+(x-a)^2}| = \lim_{x \to a} |\dfrac{2x - (x-a)^2}{(x-a)^2}| = +\infty  \)

[ancape]

Para el primero puedes usar que para cualquier punto \( (a,-a) \) podemos hacer \( y = -x + (x-a)^2 \) entonces:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} |\dfrac{x-(-x + (x-a)^2)}{x-x+(x-a)^2}| = \lim_{x \to a} |\dfrac{2x - (x-a)^2}{(x-a)^2}| = +\infty  \)

Hola

Creo que has probado que para cualquier punto \( (a,-a) \) hay un camino que pasa por él, \( y = -x + (x-a)^2 \), a lo largo del cual el límite es infinito. ¿Eso autoriza a decir que existe límite?. Yo más bien diría que si existe límite este debe ser infinito pero me faltaría ver si existe límite o no.

Saludos