[PipeDiazSarmiento]

Hola a todos, estoy intentando demostrar lo siguiente, supongamos que 3 puntos sobre la parábola \( y = x^2 \) tienen la propiedad de que sus rectas normales se cruzan en un punto común, quiero demostrar que la suma de las coordenadas x de esos 3 puntos es igual a 0.

Para eso razono de la siguiente manera:

Sea \( f(x) = y^2 \) nuestra función protagonista, \( L_{x_0}(x) = (-1/2x_0)*(x-x_0)+x_0^2 \) la recta normal a f(x) en el punto x = x_0 y \( a \), \( b \) y \( c \) las coordenadas x de los 3 puntos donde cada recta es normal a \( f(x) \), entonces:

\( L_{a}(x) = L_{b}(x) = L_{c}(x) \) y \( a+b+c = 0  \)

Ahora se me ocurre que si puedo obtener a \( a \), \( b \) y \( c \) en terminos de x a partir de estas ecuaciones, puedo luego sumarlos y verificar que el resultado sea 0 habiendo demostrado lo que me propongo. Como soy ingeniero electricista y no matemático de profesión usé sympy (un sistema algebraico computarizado o SAC) para lograrlo y obtuve resultados confusos:

Código:
from sympy import symbols, solve, Eq
# Defino los simbolos.
x,a,b,c = symbols('x a b c')

#Defino las funciones
f = x**2
L_a = (-1/2*a)*(x-a)+a**2
L_b = (-1/2*b)*(x-b)+b**2
L_c = (-1/2*c)*(x-c)+c**2

# Defino las ecuaciones.
ec1 = Eq(L_a,L_b) # esto es lo mismo que decir L_a = L_b
ec2 = Eq(L_a,L_c)
ec3 = Eq(L_b,L_c)

# Obtengo la solución:
solutions = solve((ec1,ec2,ec3),(a,b,c),dict = True) # solve( (lista de ecuaciones), (resolver para), (que la salida sea un diccionario))
print(solutions)

Salida:
solutions = [{a: c, b: c}, {a: c, b: -c + 0.333333333333333*x}, {a: -c + 0.333333333333333*x, b: c}, {a: -c + 0.333333333333333*x, b: -c + 0.333333333333333*x}]

Como ven primero el SAC me da soluciones de a y b en términos de x y c, lo que quiero saber es si mi razonamiento es correcto o es inválido o si el problema es del SAC y si utilizara otra técnica podría realizar la demostración satisfactoriamente de esta manera. Ya he corroborado gráficamente que cuando las rectas normales en los puntos \( (a,a^2) \),\( (b,b^2) \) y \( (c,c^2) \) se cruzan en un punto común, efectivamente a+b+c = 0.

Les agradezco de antemano su lectura y su ayuda.

[ani_pascual]

Ya he corroborado gráficamente que cuando las rectas normales en los puntos \( (a,a^2) \),\( (b,b^2) \) y \( (c,c^2) \) se cruzan en un punto común, efectivamente a+b+c = 0.

Les agradezco de antemano su lectura y su ayuda.

Hola:
Sin recurrir a la informática:
Recta normal en el punto \( (a,a^2) \): \( y=a^2-\dfrac{1}{2a}(x-a) \)
Recta normal en el punto \( (b,b^2) \): \( y=b^2-\dfrac{1}{2b}(x-b) \)
Recta normal en el punto \( (c,c^2) \): \( y=c^2-\dfrac{1}{2c}(x-c) \)
Punto de corte de las rectas:
\( a^2-\dfrac{1}{2a}(x-a)=b^2-\dfrac{1}{2b}(x-b)\Longrightarrow \cdots \Longrightarrow x=-(2a^2b+2ab^2) \)
\( a^2-\dfrac{1}{2a}(x-a)=c^2-\dfrac{1}{2c}(x-c)\Longrightarrow \cdots \Longrightarrow x=-(2a^2c+2ac^2) \)
Por tanto, \( a^2b+ab^2=a^2c+ac^2\Longleftrightarrow a^2(b-c)=a(c^2-b^2)\Longrightarrow a(b-c)=(c-b)(c+b)\Longrightarrow -a=c+b\Longleftrightarrow 0=a+b+c \) suponiendo que \( a\neq 0, b\ne c \)
Saludos

[ancape]

Hola

El resultado es cierto para cualquier parábola y el recíproco también. Esto es:

Sea \( P \) una parábola en el plano y tres puntos de la misma. Entonces las normales en dichos puntos son concurrentes si y sólo si las proyecciones de tales puntos sobre la directriz forman con el eje tres segmentos cuyas longitudes suman cero (longitudes signadas, es decir positivas en segmentos a la derecha del eje y negativas a la izquierda)

Saludos

[ancape]

El resultado es cierto para cualquier parábola y el recíproco también. Esto es:

Sea \( P \) una parábola en el plano y tres puntos de la misma. Entonces las normales en dichos puntos son concurrentes si y sólo si las proyecciones de tales puntos sobre la directriz forman con el eje tres segmentos cuyas longitudes suman cero (longitudes signadas, es decir positivas en segmentos a la derecha del eje y negativas a la izquierda)

Hola

Dada una parábola cualquiera, aplicando sucesivamente una rotación, una traslación y una dilatación paralela a la directriz, podemos transformarla en la parábola \( y=x^2 \) por lo que el razonamiento de ani-pascual demuestra que concurrencia \( \Rightarrow{} a+b+c=0 \). Posiblemente, un ligera variación de aquella demostración lleve a demostrar el recíproco. Sólo quedaría dar una demostración geométrica no analítica.

Saludos