[angelabayona]

Hola, ¿me pueden ayudar a resolver este ejercicio?

Sea \( {\cal M}_2(\Bbb R) \) el espacio de las matrices \( 2\times 2 \) con entradas reales. Definamos un producto interno en \( {\cal M}_2(\Bbb R) \) mediante \( A\circ B=traza(AB^t) \), donde \( B^t \) significa traspuesta de \( B \). Consideramos el subespacio \( U \) de las matrices generadas por \( M_1=\begin{pmatrix}2&-1\cr 1&\hfill 3\end{pmatrix} \) y \( M_2=\begin{pmatrix}\hfill 1 & 2 \cr -1&3\end{pmatrix} \).

(a) Usando el producto interno \( \circ  \) de \( {\cal M}_2(\Bbb R) \) encuentre la proyección ortogonal de \( C=\begin{pmatrix}1 &2\cr 3&4\end{pmatrix} \) respecto a \( V_3 \).

(b) Demuestre que, en cualquier espacio vectorial \( V \), la longitud de una proyección ortogonal de \( v\in V \), es menor que la longitud de \( v \). Compare con el caso \( C\in {\cal M}_2(\Bbb R) \) y sus proyecciones.

 Coloco los dos en el mismo hilo porque uno depende del otro, la verdad es que no lo entiendo, agradezco que me ayuden y me expliquen el paso a paso por favor. Necesito exponerlo mañana. Y no se como voy a explicarlo si no lo entiendo. Agradezco su ayuda
Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda que en las reglas se indica que no se pongan el texto y fórmulas de una pregunta como una imagen adjunta.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿me pueden ayudar a resolver este ejercicio?

Sea \( {\cal M}_2(\Bbb R) \) el espacio de las matrices \( 2\times 2 \) con entradas reales. Definamos un producto interno en \( {\cal M}_2(\Bbb R) \) mediante \( A\circ B=traza(AB^t) \), donde \( B^t \) significa traspuesta de \( B \). Consideramos el subespacio \( U \) de las matrices generadas por \( M_1=\begin{pmatrix}2&-1\cr 1&\hfill 3\end{pmatrix} \) y \( M_2=\begin{pmatrix}\hfill 1 & 2 \cr -1&3\end{pmatrix} \).

(a) Usando el producto interno \( \circ  \) de \( {\cal M}_2(\Bbb R) \) encuentre la proyección ortogonal de \( C=\begin{pmatrix}1 &2\cr 3&4\end{pmatrix} \) respecto a \( V_3 \).

Supongo que ahí donde pone \( V_3 \) debería de poner \( U \).

Hay varias formas de enfocar la resolución del problema dependiendo de la teoría que manejes.

En general proyectar un vector \( v\in V \) ortogonalmente sobre un subespacio \( u\in U \) es descomponerlo como:

\( v=u+u' \)  con \( u\in U \) y \( u'=v-u\in U^\bot \) (ortogonal a \( U \))

La proyección es el vector \( u\in U \).

En tu caso puedes resolverlo así. La proyección de \( C \) (llamémosle \( D \)) buscada pertenece al subespacio \( U \) y por tanto es combinación lineal de las dos matrices que lo generan:

\( D=a\cdot M_1+b\cdot M_2 \)

Tiene que cumplirse que \( C-D \) e ortogonal a \( U \), es decir, perpendicular a los dos vectores \( M_1,M_2 \) que generan \( C \). Equivalentemente:

\( (C_D)\circ M_1=0\quad \Leftrightarrow{}\quad (C-aM_1-bM_2)\circ M_1=0 \)
\( (C_D)\circ M_2=0\quad \Leftrightarrow{}\quad (C-aM_1-bM_2)\circ M_2=0 \)

de ahí tienes un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (\( a,b \)). Resuélvelo y tendrás la proyección buscada \( D \).

(b) Demuestre que, en cualquier espacio vectorial \( V \), la longitud de una proyección ortogonal de \( v\in V \), es menor que la longitud de \( v \). Compare con el caso \( C\in {\cal M}_2(\Bbb R) \) y sus proyecciones.

De la expresión anterior:

\( v=u+u' \)  con \( u\in U \) y \( u'=v-u\in U^\bot \) (ortogonal a \( U \))

\( \|v\|^2=\|u\|^2+\|u'\|^2 \) (esto es debido a que \( u \) y \( u' \) son ortogonales entre si, consecuencia de la fórmula que muestras aquí).

Y ahí ya lo tienes...

Saludos.

[angelabayona]

Muchísimas gracias por la ayuda. Lamentándolo mucho no me había podido conectar más porque tuve varios días sin internet. Agradezco mucho toda la ayuda que me han brindado. Necesito estudiar mucho Algebra lineal, agradezco todo el material que puedan brindarme para entender perfectamente el tema. Lo necesito chicos.