Añadido: Ah bueno, se me ocurre que Penrose se puede referir a lo siguiente. La superfície de Riemann asociada al logaritmo es el recubridor universal de \( \Bbb C \setminus \{0\} \), que de hecho se puede identificar con \( \Bbb C \) y donde la proyección \( \pi:\Bbb C \to \Bbb C \setminus \{0\} \) es la aplicación exponencial \( \pi(z)=\exp(z) \). Entonces, como la superfície de Riemann asociada es \( \Bbb C \), la puedes completar a una esfera añadiendole un punto. Pero \( \pi \) no se puede extender de manera continua a una aplicación de la esfera de Riemann en \( \Bbb C \), así que la interpretación como superfície de Riemann de una función se pierde.
Abundando un poco más en esto y por ponerle un pero a Penrose si realmente sus descripciones iban dirigidas a legos como yo más que a matemáticos, diría que lo que señalas es la razón de que para trabajar con \( log(z) \) haya que fijar de antemano una rama, generalmente la rama principal, ya que no hay de otra forma función continua en \( \Bbb C \setminus \{0\} \) por el problema con su función inversa exponencial.
Penrose no se mete en estas honduras en un libro de divulgación claro, pero creo que puede confundir(a mí me ha liado un poco al menos) su insistencia en que el dominio de \( log(z) \) se puede de alguna forma compactificar(cuando como dijiste es \( \mathbb{C} \) quien puede como recubridor universal de \( \Bbb C \setminus \{0\} \) y está implicada la problemática función exponencial) y en que es univaluada, lo son sus abiertos en su superficie de Riemann asociada pero no exactamente la función como tal, salvo especificando la rama principal de antemano y entonces se pierde la perspectiva como superficie de Riemann.
