Lo que has hecho hasta ahora está bien. Fíjate que se puede reescribir lo que hay que demostrar como
\( \displaystyle{
\lambda ^*((\alpha ,\beta )- A)=\lambda ^*((a,b)- A)-\underbrace{\big(\lambda ^*((a,b))-\lambda ^*((\alpha ,\beta ))\big)}_{=(b-a)-(\beta -\alpha )}
} \)
Eso se puede deducir de la definición de medida exterior ya que todo cubrimiento de \( (a,b)-A \) puede dividirse en un cubrimiento de \( (\alpha ,\beta )-A \) y en un cubrimiento de intervalos semicerrados de \( (a,\alpha ]\cup [\beta ,b) \), los cuales dan lugar a la misma medida exterior.
Es decir: si \( C:=\{(a_k,b_k):k\in \Bbb N_{> 0} \} \) es un cubrimiento de intervalos abiertos de \( (a,b)-A \) entonces \( C_1:=\left\{x\cap (\alpha ,\beta ):x\in C\right\} \) es un cubrimiento de intervalos abiertos de \( (\alpha ,\beta )-A \), y \( C_2:=\left\{x-(\alpha ,\beta ):x\in C\right\} \) es un cubrimiento de intervalos semicerrados de \( (a,\alpha ]\cup [\beta ,b) \).(*)
Y viceversa: si tenemos cubrimientos de intervalos abiertos \( C_1 \), de \( (\alpha ,\beta )-A \), y \( C_2 \), de \( (a,\alpha ]\cup [\beta ,b) \), entonces \( C_1\cup C_2:=D \) es un cubrimiento de \( (a,b)-A \). Y en todos estos casos se cumple que
\( \displaystyle{
\sum_{x\in C}\ell (x)=\sum_{x\in C_1}\ell (x)+\sum_{x\in C_2}\ell (x)
} \)
de donde se deduce la igualdad que queremos demostrar.
(*) Pero ojo: en lo anterior yo he usado el hecho de que podemos hacer cubrimientos con intervalos semicerrados (o semiabiertos) para calcular la medida exterior de Lebesgue. Esto es cierto pero si no lo sabes hay que demostrarlo, para esto es suficiente con demostrar que se pueden hacer cubrimientos con intervalos cerrados en vez de abiertos dando lugar a la misma medida exterior de Lebesgue. Nota: en lo que sigue \( \lambda ^* \) se referirá únicamente a la medida exterior de Lebesgue definida únicamente usando cubrimientos de intervalos abiertos.
Para demostrar que da igual el tipo de intervalos que usemos para definir la medida exterior de Lebesgue supongamos que tenemos un cubrimiento de intervalos cerrados \( \{[a_1, b_1], [a_2, b_2],\ldots\} \) de un conjunto cualquiera \( B \), entonces tomando un \( \epsilon >0 \) arbitrario definimos el cubrimiento de intervalos abiertos \( \{(a_1-\epsilon /4,b_1-\epsilon /4),\ldots, (a_k-\epsilon /2^{k+1}, b_k+\epsilon /2^{k+1}),\ldots \} \) con lo que comprobamos que
\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^{\infty }(b_k-a_k+\epsilon /2^k)=\sum_{k=1}^{\infty }(b_k-a_k)+\epsilon \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty }(b_k-a_k)+\epsilon\\
\therefore \,\inf\left\{\sum_{k=1}^{\infty }(b_k-a_k+\epsilon /2^k):B\subset \bigcup_{k=1}^{\infty }[a_k,b_k]\right\}=\lambda ^*_C(B)+\epsilon \tag1
} \)
donde \( \lambda^*_C \) es la medida exterior obtenida utilizando cubrimientos con intervalos cerrados. Entonces de (1) tenemos que \( \lambda ^*_C(B)+\epsilon \geqslant \lambda ^*(B) \). Por otro lado es obvio que si \( \{(a_1,b_1),(a_2,b_2),\ldots \} \) cubre a \( B \) entonces también lo hace \( \{[a_1,b_1],[a_2,b_2],\ldots \} \), por tanto \( \lambda ^*(B)\geqslant \lambda ^*_C(B) \). De ambas desigualdades, y sabiendo que \( \epsilon \) es arbitrariamente pequeño, concluimos que \( \lambda ^*(B)=\lambda ^*_C(B) \).\( \Box \)
Usando la misma idea de la demostración de arriba de dividir un cubrimiento \( C \) de \( (a,b)-A \) en cubrimientos \( C_1 \) y \( C_2 \) podemos hacer una demostración más directa: sustituimos cada semiabierto en \( C_2 \) por un abierto que lo contenga ligeramente mayor y que dependa de un \( \epsilon >0 \) arbitrariamente pequeño, lo que nos demostraría que
\( \displaystyle{
\forall \epsilon >0\forall C \exists C_1,C_2:\sum_{x\in C}\ell (x)+\epsilon =\sum_{x\in C_1}\ell (x)+\sum_{x\in C_2}\ell (x)\\
\implies \forall \epsilon >0 :\lambda ^*((a,b)-A)+\epsilon \geqslant \lambda ^*((\alpha ,\beta )-A)+\lambda ^*((a,\alpha ]\cup [\beta ,b))\\
\implies \lambda ^*((a,b)-A)\geqslant \lambda ^*((\alpha ,\beta )-A)+\lambda ^*((a,\alpha ]\cup [\beta ,b))=\lambda ^*((\alpha ,\beta )-A)+(b-a)-(\beta -\alpha )
}\tag2 \)
Y si partimos de cubrimientos abiertos \( C_1 \) y \( C_2 \), de \( (\alpha ,\beta )-A \) y \( (a,\alpha ]\cup [\beta ,b) \) respectivamente, entonces está claro que \( D:=C_1\cup C_2 \) es un cubrimiento abierto de \( (a,b)-A \) por lo que \( \lambda ^*((a,b)-A)\leqslant \lambda ^*((\alpha ,\beta )-A)+(b-a)-(\beta -\alpha ) \), lo que junto a (2) demuestran la igualdad buscada.
EDICIÓN: mejorada redacción, corregido algún error y añadidos algunos detalles.
