¡Hola! Estoy intentando probar una proposición y no sé si es que no entiendo lo que se pide o que me estoy perdiendo algo. A ver si podéis ayudarme.
El enunciado es
"Dada una \( \sigma \)-álgebra \( \mathcal{A} \) y una función de conjunto \( \mu: \mathcal{A} \to \overline{\mathbb{R}} \), probar que para cualquier conjunto medible de \( \mathcal{A} \) existe un subconjunto medible \( B \subset A \) que verifica
\( 2 \lvert \mu(B) \rvert \geq \mu^+(A) + \mu^-(A) \)
siendo \( \mu^+ \) y \( \mu^- \) las medidas en las que se descompone una función de conjunto según el teorema de Hahn-Jordan."
Os cuento lo que he hecho, a ver si me he confundido en algo.
Si el conjunto \( A \neq \emptyset \), entonces va a haber al menos un subconjunto. La descomposición del espacio muestral de Hahn, \( \Omega = P \cup P^c \) es tal que \( \mu^+(A) = \mu(A \cap P) \) y \( \mu^-(A) = - \mu(A \cap P^c) \) con \( P \) medible, por lo que seguro que existe al menos un subconjunto medible de \( A \), que es \( A \cap P \).
Mi idea era probar las siguientes desigualdades
\( \displaystyle -\mu(B) \leq \cfrac{\mu^+(A) + \mu^-(A)}{2} \leq \mu(B) \)
La primera desigualdad la he podido probar, ya que como las medidas son no negativas y es precisamente \( \mu(B) = \mu^+(A) \), se verifica siempre.
Sin embargo, en la segunda me he quedado atascado porque después de "arreglar" la expresión, tengo que ver si se verifica siempre que \( \mu^-(A) \leq \mu^+(A) \), y esto no sé si es cierto en general.
¿Cómo podría seguir? ¿O debo razonarlo de otra manera?
Disculpas por las molestias y muchas gracias.
