[0_kool]

Una recta intercepta una parábola \(  f(x)=x^2+bx+c \)  en el punto (3,6)
hallar  \( \displaystyle\frac{h+k}{b+c} \), según muestra el dibujo

[sugata]

¿h y k son las coordenadas del vértice?
Lo primero que haría es sacar la recta. Tenemos un punto y derivando la parábola en ese punto tendremos la pendiente.

[0_kool]

Si (h,k) vértice, pero es un problema de secundaria , sin derivadas.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes: \( p(x) = ax^2+bx+c = a \cdot (x^2+\dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{c}{a}) = a \cdot ((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} ) \)

El vertice de la parabola lo tienes en \(  x = \dfrac{-b}{2a}  \) que en tu caso es \(  x = \dfrac{-b}{2} = h  \)
\(  f(h) = k  \)

[mathtruco]

Hola. No veo para qué sirve saber que la parábola es intersectada por una recta en ese punto, ¿faltará algo del enunciado?

[0_kool]

Tienes: \( p(x) = ax^2+bx+c = a \cdot (x^2+\dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{c}{a}) = a \cdot ((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} ) \)

El vertice de la parabola lo tienes en \(  x = \dfrac{-b}{2a}  \) que en tu caso es \(  x = \dfrac{-b}{2} = h  \)
[tex] f(h) = k [/tex

eso lo tengo claro , pero no se que más hacer , revise el problema no le falta nada , suponiendo que use derivadas , como  dijieron más arriba , de que me sirve la recta, la única relación extra que veo es 6= 9+3b+c

[mathtruco]

de que me sirve la recta, la única relación extra que veo es 6=3b+c

Con el dato \( f(3)=6 \) obtienes

    \( 6=9+3b+c\Rightarrow -3=3b+c \).


Nota que para cualquier punto sobre la parábola puedes definir una recta tangente a la parábola que pasa por dicho punto, así que el dato que dan no entrega información extra. Tendrás que dejar el resultado dependiendo de una constante (\( a \) o \( b \)).

[martiniano]

Hola.

Se podría interpretar que la recta que pasa por (0,-6) y por (3,6) es tangente a la parábola. ¿No os parece?

Saludos. 

[sugata]

De acuerdo, pero la recta no me sirve para nada.
Necesitamos una relación entre el vertice y los coeficientes.
El punto por el que pasa me podría servir para localizar su simétrico, pero no veo que sirva de mucho.

[0_kool]

De acuerdo, pero la recta no me sirve para nada.
Necesitamos una relación entre el vertice y los coeficientes.
El punto por el que pasa me podría servir para localizar su simétrico, pero no veo que sirva de mucho.

No se si este en lo correcto , pero sería válido plantear que h<3 y que k<6 ,y resolver las desigualdades resultantes ?