[Paralipómena]

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( (E_{n})_{n=1}^{\infty} \) una sucesión de subconjuntos de \( X. \) Defínase \( D_{1}=E_{1}, \) \( D_{2}=D_{1}\bigtriangleup E_{2} \) y en general \( D_{n+1}=D_{n}\bigtriangleup E_{n+1} \) para \( n=1,2,\ldots \) Entonces

\( \displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}(D_{n})=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(D_{n})\Longleftrightarrow \displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}(E_{n})=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(E_{n})=\emptyset. \)

He intentado usar el hecho de que, si el límite superior e inferior de una sucesión de conjuntos coincide, entonces la sucesión de indicadoras de tales conjuntos es convergente. El recíproco de lo anterior también es cierto. También que la función indicadora de del límite inferior de una sucesión de conjuntos es el límite inferior de las indicadoras de dichos conjuntos. De manera similar para el límite superior. Sin embargo no estoy obteniendo algo realmente útil.

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( (E_{n})_{n=1}^{\infty} \) una sucesión de subconjuntos de \( X. \) Defínase \( D_{1}=E_{1}, \) \( D_{2}=D_{1}\bigtriangleup E_{2} \) y en general \( D_{n+1}=D_{n}\bigtriangleup E_{n+1} \) para \( n=1,2,\ldots \) Entonces

\( \displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}(D_{n})=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(D_{n})\Longleftrightarrow \displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}(E_{n})=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(E_{n})=\emptyset. \)

Si \( \displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}(E_{n})=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(E_{n})=\emptyset \) entonces para cada elemento los conjuntos \( E_n \) son vacíos a partir de un cierto \( n_0 \) y por tanto para cada elemento las diferencias simétricas \( D_n \) constantes a partir de ahí.

Recíprocamente si \( \displaystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}(D_{n})=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}(D_{n}) \) para cada elemento a partir de un \( n_0 \) o pertenece a todos los \( D_n \) o a ninguno y eso exige que los sucesivos \( E_n \) a partir de \( n_0 \) no tengan a ese elemento.

Saludos.

[Paralipómena]

Gracias Luis Fuentes. Me has proporcionado gran ayuda.

Un saludo.