Hola, pongo este ejercicio aquí en el apartado de probabilidad porque deriva de unos apuntes de cópulas.

Me piden demostrar que la función \( H(x,y):=max\{x,y\} \) no es \( 2 \)-creciente y para ello debo ver que el volumen en el cuadrado unidad \( \mathbb{I}^2 \) es negativo.

He hecho lo siguiente pero me da positivo, y creo que estoy realizando algo mal:

Defino el volumen como: \( VolH(\mathbb{I}^2)=\displaystyle\int\int_{\mathbb{I}^2} H(x,y)dxdy \), donde \( \mathbb{I}^2 \) es el cuadrado unidad \( [0,1] \times[0,1] \).


Calculamos el \( H \)-volumen:

\( VolH(\mathbb{I}^2)=\displaystyle\int\int_{\mathbb{I}^2} max\{x,y\}dxdy= \)

\( =\displaystyle\int_0^1\int_0^1 max\{x,y\}dxdy= \)

\( =\displaystyle\int_0^1\left(\int_0^y y\text{ }dx+\int_y^1 x\text{ }dx\right)dy= \)

\( =\displaystyle\int_0^1\left(y^2+\left[\frac{x^2}{2}\right]_y^1\right)dy= \)

\( =\displaystyle\int_0^1\left(y^2+\frac{1}{2}-\frac{y^2}{2}\right)dy= \)

\( =\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{2}+\frac{y^2}{2}\right)dy= \)

\( =\left[\frac{y}{2}+\frac{y^3}{6}\right]_0^1= \)

\( =\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)-(0+0)=\frac{2}{3} \).

Si alguien puede echarme una mano se lo agradecería.

Saludos.

Hola, tengo que demostrar el siguiente resultado:

Sea \( A \) una matriz cuadrada sobre \( \mathbb{C} \). Mostrar que \( A \) es semejante a una matriz diagonal sii \( minA \) no tiene raíces múltiples.

Puedo ver que si la matriz \( A \) es semejante a una matriz diagonal es porque \( A \) es diagonalizable. Eso quiere decir que las mutiplicidades algebraicas y geométricas de los autovalores de la matriz \( A \) son coincidentes. También meto en la ecuación que el polinomio minimal al ser un divisor del polinomio característico y tener los mismos factores irreducibles, tendrá algo que ver. Con todo esto no sabría darle forma.

Si alguien pudiese darme una mano se lo agradecería.

Gracias.

Hola, me piden demostrar que:

\(  \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1) \leq_{st} \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2) \Leftrightarrow \sigma_1=\sigma_2 \), \( \mu_1 \leq \mu_2 \)

Sabiendo que dos variables aleatorias \( X,Y \) son estocásticamente ordenadas si:

\( \bar F_x(x)=P\{X > x\}\leq_{st} \bar F_y(x)=P\{Y>x\}, \forall x \in \mathbb{R}  \).

Yo lo estoy planteando de la siguiente manera. Sean \( X\sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1), Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2) \). Al tener \( X \) e \( Y \) la misma desviación típica, nos aseguramos que van a tener la misma distribución pero desplazadas una de la otra un valor \( h \geq 0 \), es decir, podríamos decir que \( \mu_2=\mu_1+h \).

Sabemos también que \( \bar F_x=1-F_x(x), \bar F_y=1-F_y(x) \), son llamadas funciones de supervivencia de las variables \( X,Y \).

Visto esto, intuitivamente tendría claro que es cierto, ya que si tomamos un valor cualquiera de \( x \), podríamos decir que \( \bar F_y(x)=\bar F_x(x-h) \) y por tanto \( \bar F_x(x)\leq \bar F_x(x-h)=\bar F_y(x) \), puesto que si avanzamos \( h \) hacia la izquierda, la función de supervivencia \( \bar F_y(x) \) va a obtener valores más grandes que \( \bar F_x(x) \).

Lo quiero demostrar desde la tipificación a la \( \mathcal{N}(0,1) \):

Si \( \sigma_1=\sigma_2=\sigma \), \( \mu_1 \leq \mu_2 \Rightarrow \mu_2=\mu_1+h, \text{ con } h\geq 0\Rightarrow Z_1=\displaystyle\frac{X-\mu_1}{\sigma}, Z_2=\displaystyle\frac{Y-\mu_2}{\sigma}=\displaystyle\frac{X-(\mu_1+h)}{\sigma}\Rightarrow P(Z_1 < z) > P(Z_2 < z)\Rightarrow 1-P(Z_1 >z) \leq 1- P(Z_2>z)\Rightarrow \bar F_{z_1}(z) \leq_{st} \bar F_{z_2}(z)\Rightarrow \bar F_x(x) \leq_{st} \bar F_x(x-h)\Rightarrow \bar F_x(x) \leq_{st} \bar F_y(x)  \).

Y para hacer la implicación inversa, haríamos lo mismo pero partiendo desde \( \bar F_x(x) \leq_{st} \bar F_y(x) \) hasta llegar al inicio desde donde hemos partido antes.

¿Estaría bien?.

Saludos.

 

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{Q} \) una función continua. Demuestra que es constante.

Creo que primeramente antes de demostrar algo, intuitivamente habría que tenerlo claro, pues ni una cosa ni la otra. Si alguien pudiese echarme una mano lo agradecería.

Hola.

Tengo el siguiente ejercicio:

\( x^{\sqrt x}=\sqrt x^x \).

He sacado soluciones pero no me queda realmente claro. He hecho lo siguiente:

\( x^{\sqrt x}= x^{\frac{x}{2}}\Rightarrow \sqrt x=\displaystyle\frac{x}{2}\Rightarrow x=\displaystyle\frac{x^2}{4}\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x=0, x=4 \).

Debo estar equivocándome en el procedimiento, porque las soluciones son \( x=1, x=4 \), ¿sabríais ver dónde estaría el error?.

Saludos.

Hola, tengo la siguiente ecuación:

\( |x-1|-x||=2 \).

Me ha dado como soluciones \( x=\{-1/2,3/2\} \) pero al comprobar la solución con \( x=3/2 \) no cumple la ecuación.

He hecho lo siguiente:

\( ||x-1|-x|=2 \Rightarrow (1)\text{ }|x-1|-x=2 \) y \( (2)\text{ }|x-1|-x=-2 \).

De \( (1)\text{ }|x-1|=x+2 \Rightarrow (1.1) \text{ }x-1=x+2 \) y \( (1.2)\text{ }x-1=-(x+2) \).

De \( (1.1) \) no tiene solución.
De \( (1.2)\text{ } x-1=-x-2 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-1/2 \).

Para el otro caso:

De \( (2)\text{ }|x-1|-x=-2 \Rightarrow (2.1)\text{ } x-1=x-2 \) y \( (2.2) \text{ } x-1= 2-x \).

De (2.1) No tiene solución.
De (2.2) \( 2x=3 \Rightarrow x=3/2 \), pero al sustituir \( x=3/2 \) en la ecuación inicial \( |(3/2)-1|-(3/2)|=1 \) y no \( 2 \).

¿No debería cumplir \( x=3/2 \) con la ecuación inicial del ejercicio?.

Saludos.

Hola,

Tengo el siguiente ejercicio:

Calcula los números que hay entre 20 000 y 30 000 que terminan en 39, al escribirlos en base 4 terminan en 33, y al escribirlos en base 8 acaban en 37.

Realmente no tendría muy claro como hacerlo, pero he razonado esto por intentar comenzar el ejercicio:

De la parte de los números que terminan en 39, obtengo la siguiente congruencia: \( x\equiv 39 (mod 100) \).
De la parte del número que al escribirlos en base 4 acaban en 33: \( x\equiv 33 (mod 64) \),
y de la parte  que acaban en 37 en base 8: \( x\equiv 37 (mod 64) \).

Para razonar las tres congruencias me he basado en el sistema de pesos de la base, para que un número acabe en 39, debe ser que al dividirlo entre \( 10^2 \), ese sea su resto. De la misma forma, para que un número en base 4 acabe en 33, debe ser que al dividirlo entre \( 4^3 \) su resto sea 33, y para base 8, que \( 8^2 \) su resto sea 37.

Para la parte de que los números está entre 20 000 y 30 000, lo haría al final, cuando obtuviese una \( solución \) resolvería la inecuación: \( 20000 < solución <30000 \).

Muy probablemente esté mal y si no os importase necesitaría ayuda al respecto.

Saludos.

Hola,

Sea la siguiente serie de potencias:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)(x-1)^n \)

Estudiar su intervalo de convergencia.

Para ello aplicaremos el criterio del cociente pero antes haremos algunas cuentas:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)(x-1)^n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\displaystyle\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\right)(x-1)^n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^n}{n(n+1)}(x-1)^n \)

Aplicamos ahora el criterio del cociente: \( \lim_{x \to \infty}\left |{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right | \)

\( \lim_{n \to \infty}\left |{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}}{(n+1)(n+2)}}{\displaystyle\frac{(-1)^n(x-1)^n}{n(n+1)}}}\right |=\lim_{n \to \infty}\left |{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}n(n+1)(x-1)^{n+1}}{(-1)^n(n+1)(n+2)(x-1)^n}}\right |=\lim_{n \to \infty}\left |{\displaystyle\frac{(-1)(n)}{(n+2)}(x-1)}\right |=\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n}{n+2}\left |{(1-x)}\right |=\left |{(1-x)}\right | \)

Para que sea convergente se debe de dar que:\(  \left |{(1-x)}\right |<1\Rightarrow\begin{cases}{1-x<1}& \\x-1<1 & & \end{cases}\Rightarrow x \in (0,2) \)

Por tanto, el intervalo de convergencia sería \( x \in (0,2) \)

Me gustaría saber si estaría bien hasta esta parte. En caso afirmativo, faltaría comprobar en los extremos del intervalo.

Hola.

Estoy con el estudio de la convergencia de esta serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \)

Y creo que es una serie hipergeométrica por este motivo, aplicamos el criterio del cociente \( \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}}{\displaystyle\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}=\displaystyle\frac{n(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\displaystyle\frac{n}{(n+3)} \), que es de la forma \( \displaystyle\frac{\alpha n+\beta}{\alpha n+\gamma} \), con \( \alpha=1, \beta=0, \gamma=3 \).

Esta serie es convergente si \( \gamma > \alpha + \beta \), en nuestro caso: \( 3>1+0 \), por tanto es convergente y su suma:

\( S_n=\displaystyle\frac{a_1 \gamma}{\gamma -\alpha -\beta} \), en particular: \( S_n=\displaystyle\frac{(1/4)*3}{2}=\displaystyle\frac{3}{8} \).

Un saludo.

Buenas tardes, estoy tratando de estudiar la convergencia de la serie siguiente:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\frac{2^n}{n^2+n} \) y he pensado hacerlo por el criterio de la raíz, que como sabemos, esa serie será convergente si:

\( \lim_{n \to \infty}\sqrt[ n]{a_n}<1 \)

En este caso:

\( a_n=\displaystyle\frac{2^n}{n^2+n} \), aplicamos el criterio y tendríamos:

\( \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\displaystyle\frac{2^n}{n^2+n}}=\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\sqrt[ n]{2^n}}{\sqrt[ n]{n^2+n}}=\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{2}{(n^2+n)^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n \to \infty}2(n^2+n)^{-\frac{1}{n}}=\infty^0 \) Indeterminación.

Para solucionar esta indeterminación utilizo que \( f(x)=e^{ln f(x)} \)

Entonces: \( e^{\lim_{n \to \infty}ln(2(n^2+n))^{-\frac{1}{n}}} \), resolvemos la parte de límite:

\( \lim_{n \to \infty}ln(2(n^2+n))^{-\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}-\displaystyle\frac{1}{n}*ln(2(n^2+n))=\lim_{n \to \infty}-\displaystyle\frac{ln(2)+ln(n^2+n)}{n}=-\displaystyle\frac{\infty}{\infty} \) Y para ello aplicamos L'Hopital:

\( \lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{n^2+n}*2n+1}{-1}=\lim_{n \to \infty}-\displaystyle\frac{2n+1}{n^2+n}=0 \)

Por tanto el límite sería \( e^0=1 \), que por el criterio de la raíz es que no obtenemos información alguna y supongo que habría que aplicar otro criterio pero no sabría cuál. No descarto que hubiese algún fallo en el desarrollo o incluso en la elección del criterio.

Un saludo.