No está bien. Hay algunos errores conceptuales y otros de cálculo. Vamos por partes.
utilizando el teorema del limite central tenemos que
\begin{eqnarray*}
P(\lambda)&\sim& N\left( \lambda, \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{n}} \right)\\[0.3cm]
\text{ Ya que: } \displaystyle\frac{x_1+ \ldots + x_n }{n} &\sim& N\left( \lambda, \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{n}} \right)\\[0.3cm]
\end{eqnarray*}
Esto está, como mínimo, mal expresado. La distribución \( P(\lambda) \) no es una normal, ni tiende a una normal (no puede tender a nada ya que no hay \( n \), su único parámetro es \( \lambda \) que es fijo).
En realidad lo que tienes es lo segundo que pones, que la media muestral
\[ \overline{X} = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} \]
se distribuye
asintóticamente (para \( n \) grandes), como una \( N\left( \lambda, \sqrt{\frac{\lambda}{n}}\right) \).
El promedio muestral por pagina es \( \frac{450}{200}=2.5 \)
Hay un error de cálculo: \( 450/200=2.25 \).
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow P\left( \lambda >2.5 \mid \mu=2 \right)&=&1-\alpha\\[0.5cm]
P\left (Z>\displaystyle\frac{2.5-2}{\sqrt{\displaystyle\frac{2.5}{200}}} \right) &=& 0.95\\[0.5cm]
P (Z>4.47)&=&0.95\\[0.3cm]
1-P (Z<4.47)&=&0.95 \\[0.3cm]
P (Z<4.47)&=&0.05\\[0.3cm]
Z_{0.05}&=&1.64\\
\Longrightarrow Z&>&Z_{0.05}
\end{eqnarray*}
entonces se Rechaza la hipótesis nula.
No está bien. Primero, el estadístico que vas a usar es \( \overline{X} \), por lo que debes imponer \( P(\overline{X}>2.25 \mid \lambda=2)=1-\alpha \). Esto es lo mismo que:
\( P \left( Z > \frac{2.25-2}{\sqrt{\frac{2}{200}}}\right)=0.95 \)
Ojo porque en la raíz del denominador debes poner \( 2 \) y no \( 2.25 \), es decir el valor de \( \lambda \) bajo la hipótesis nula. Por lo denás el procedimiento está bien.