(La busque por todos lados pero no la encontré)

Supongamos que tenemos una categoría C, que admite coproductos finitos.

Y consideremos dos monomorfismos en C \( {\varphi_{1}}:A_{1}\to S \) y \( {\varphi_{2}}:A_{2}\to S \).

Tenemos el siguiente diagrama que debe conmutar (UMP del coproducto):

\( \xymatrix{
& S \\
A_{1} \ar@{^(->}[r]_{i_{1}} \ar@{^(->}[ur]^{\varphi_{1}} & A_1+A_2 \ar@{-->}[u]_{\varphi} & A_{2} \ar@{^(->}[l]^{i_{2}} \ar@{^(->}[ul]_{\varphi_{2}} } \)


Mi pregunta es: \( \varphi \) es monomorfismo? De no serlo en general por favor un contraejemplo.

Hola! 

¿Qué tipos de subclases de SET forman subcategorias reflectivas? 

Gracias!!!!

Supongamos que tenemos dos grupos sobre el mismo conjunto, que además comparten los mismos subgrupos.
Dichos grupos, son isomorfos?

Gracias!!!!

Un compañero de facultad ya me había dado el contraejemplo,
así que hace unos días que sabía que era falso pero me olvide de decirlo acá.
Y lo de que las sobreyectivas admiten inversa a izquierda fue una boludés que me mandé por apurado.

Pruebe o refute la siguiente conjetura:

Sea A un conjunto, y S,J subconjuntos de A y tales que los cardinales de S y de J son mayores o iguales que 2 y además J tiene un cardinal mayor que S.
Definimos ahora \( F_J \) como el conjunto de funciones sobreyectivas de A en J y \( F_S \) como el conjunto de funciones sobreyectivas de A en S.
Entonces  \( #F_J\geq{#F_S} \)

Mucho más fácil todavía!!!!!!   

En las hipótesis del problema basta derivar respecto de x en ambos lados para llegar a lo siguiente:
\( f^{\prime}(x/2)=f^{\prime}(x) \) y esto para todo x real. (regla de la cadena)

Pero esto sólo puede ocurrir si la derivada de f es constante.

De modo que, \( f'(x)=c_1 \) y por lo tanto \( f(x)=c_1.x+c_2 \) para ciertos c1,c2 reales.
Resta ver quienes son \( c_1 $ y $ c_2 \).
Aplicando la condición resultará obvio:

f(0)=0 entonces c2=0

El c1 no se conoce explicitamente sin embargo es obvio que, al ser constante, f´(x)=c1=f´(0)=f´(1)=... para todo x real.

De modo que se deduce lo que queríamos: f(x)=f´(0).x.

Visto así, el problema parece bastante trivial.

Saludos.

Disculpa, no me queda clara la construcción.

Si te refieres a \( Z^\mathbb{N} \) con la suma coordenada a coordenada, tomando el conjunto de elementos donde en una coordenada vale 1 y en el resto 0, que será independiente y además generará todo el grupo.

Por otro lado el grupo de las raíces complejas n-ésimas de la unidad es un grupo cíclico, el elemento generador forma un conjunto independiente.

Perdona si estoy interpretando mal tu construcción, no veo con claridad el ejemplo, de hecho, no lo entiendo.
Te agradecería otro contraejemplo o explicación de ese que escribiste.

Muchas gracias por el interés y la respuesta, Saludos.

Hola,
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Sea \( G \) un conjunto. Y sea \( F\subseteq{\cal{P}(G)} \).
¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que \( F \) sea la familia de subgrupos de algún grupo en \( G \)?

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Hay algunas condiciones necesarias que son bastante visibles:
1) Existe un elemento de G que es la intersección de toda la familia F (que vendría a ser el cero del grupo).
2) La intersección arbitraria de elementos de F está en F (la intersección arbitraria de subgrupos es subgrupo).
3) \( G\in{F} \). (G es un subgrupo también).

Es decir hay que encontrar propiedades de dicha familia, y deben ser tales que nos permitan construir una suma (y un cero, pero esto ya estaría hecho) de modo que la familia de subgrupos del grupo inducido por dicha suma sea exactamente F.

Me parece un problema bastante interesante, sobre todo por que una topología es definida mediante las propiedades de dicha familia,
sólo que en la pregunta cambiamos "subgrupos" por "abiertos" y "algún grupo" por "alguna topología".

Saludos, agradezco cualquier aporte o sugerencia sobre donde encontrar algún material sobre esto.

Hola, otra vez muchas gracias por la respuesta 

El problema, sigue siendo fijar el concepto de límite en un grupo arbitario. Para que esas sumas numerables correspondan a un elemento del grupo. En realidad sin dar una respuesta clara a esto, tu conjetura no está bien determinada, concretada, definida.

CONTEXTO:

Espacio de Moore:
Decimos que un par (X,k) es un espacio de Moore sii: X es un conjunto, y \( k\subset{{\cal P}(\mathbb{X})} \) cumple:
1) \( X\in{k} \)
2) La intersección arbitraria de elementos de k está en k.

Obs 1: Una topología (X,t) es un espacio de Moore.
Obs 2: (G,k) donde G es grupo y k es la familia de subgrupos de dicho grupo, es un espacio de Moore.

Árbol sobre H: Es una función que va de un preorden en H.
Conjunto Abierto : El complemento de cualquier elemento de k.
Entorno de un punto: Análogo a topología.
Límite de un árbol: Análogo a un red topológica pero en árboles.

Basta tomar un conjunto de cardinal superior al del continuo, por ejemplo, \( X={\cal P}(\mathbb{R}) \). Entonces el grupo libre sobre \( X \) está formado por todas las cadenas reducidas con un número finito de elementos de \( X \) o de elementos marcados con un  \( ^{-1} \) (que corresponderán a sus inveros). Una cadena se dice reducida cuando no aparecen de forma consecutiva un elemento y su inverso. La suma del grupo es simplemente la adyacencia de cadenas. El neutro es la cadena vacía.

Bueno, intentemos de hecho construir un grupo allí en \( {\cal P}(\mathbb{R}) \); tomemos como tú dices el conjunto vacío como neutro de nuestro grupo, sea ahora S un conjunto aquí (que de hecho existe) tal que: S equipotente con \( S-({\cal P}(\mathbb{R})\cup{\emptyset}) \) de esta manera está definido quienes son los positivos (S) y quienes los negativos (su complemento), hasta aquí va todo bien; pero ahora sean \( a,b\in{S} \); me has definido a la suma como a la adyacencia de cadenas sin embargo ab (como cadenas adyacentes) no está en el conjunto original \( {\cal P}(\mathbb{R}) \). En el grupo libre si tiene sentido está construcción (más allá del grupo trivial con la cadena vacía) es porque existe un cierto conjunto S donde dichas cadenas representan elementos del conjunto original, lo cual no es cierto en este caso; y aún, ¿debería existir una función que le de sentido a dicha construcción que sea coherente con la elección de los positivos, los negativos y el neutro?.

Primero escribiré la conjetura y luego tratare de explicar la motivación:

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Sea (G,+,0) un grupo entonces existe \( H\subseteq{G} \) NUMERABLE tal que:

\( \forall x\in{G} \exists ({s_n})_{n\in{\mathbb{N}}}\subseteq{H} \exists ({a_n})_{n\in{\mathbb{N}}}\subseteq{\mathbb{Z}} \) tal que \( x=\displaystyle\sum_{n\in{\mathbb{N}}}{{a_n}{s_n}} \)

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Las sumas numerables serán admitidas en el sentido del limite de las sumas parciales,
y el limite será considerado respecto de una definición más general de la topología generada por la familia de subgrupos del grupo.
Es decir, se deberá generalizar el concepto de límite (más general que una red topólogica).

La motivación viene de notar que por supuesto en cualquier grupo numerable esto es cierto y además que en el grupo de los reales con la suma usual se verifica la conjetura (el conjunto es: \( H=\{x\in{\mathbb{R}}:x=1/(2^n);n\in{\mathbb{N}}\} \)).