En la Universidad y en los colegios se enseña mucha matematica sin necesidad de ir hasta los fundamentos primeros del uso de los signos lógicos.
Hay hechos matematicos que se pueden razonar usando la comprensión intrínseca del tema que se estudia: análisis, geometría, álgebra, etc.
El cáculo de Newton funcionaba muy bien aún antes de que se le diera una estricta formulación lógico-matemática.
Lo mismo pasa con las series de Fourier, que revolucionaron la matematica y la física aún antes de que se eliminara el "error" de Fourier de pensar que "toda" función era aproximable por series trigonométricas.
Hay ideas que han sobrevivido a pesar de la falta de rigor, según lo que hoy se entiende por rigor lógico-matemático.
La teoría de conjuntos misma pudo desarrollarse a partir de Cantor en forma "intuitiva", y los hechos que Cantor descubrió siguen siendo ciertos aún hoy, y de gran importancia.
El rigor matemático es necesario que aparezca en situaciones extremas, a la hora de poder discernir si ciertos teoremas o ejemplos demasiado complejos o extraños aún tienen sentido.
Y si uno enseña que hablar de un "conjunto universal" es paradójico, se puede sobrevivir largo tiempo haciendo teoría de conjuntos sin entrar en el formalismo duro.
Cuando aparecen dudas en un argumento, u opiniones contrarias, se puede ir siendo cada vez más exactos en la escritura lógica de lo que uno está queriendo afirmar, y así dotar de más rigor a los argumentos, hasta dirimir la disputa.
Y en algún momento habrá que entrar en el detalle de los lenguajes formales y las reglas e interpretaciones de los signos lógicos.
Pero no creo que sea cierto que haya que "duchar" a todo el mundo en semejante mar de rigor.
No le veo ventajas pedagógicas, por ejemplo.
Tampoco creo que el rigor haga a la esencia de la matemática.
El rigor de los signos y los lenguajes es, según yo creo, una
necesidad básica en la ciencia matemática de hoy día, pero que
no interviene en la esencia o comprensión de los
objetos matemáticos.
De la misma manera que el análisis exhaustivo de las reglas y mecánica interna de las oraciones y fonética del idioma castellano no intervienen en el uso cotidiano del mismo, ni en los mensajes que transmitimos a otras personas. No estamos todo el tiempo haciendo el trabajo de la Real Academia de la Lengua para poder usar la lengua.
Se hace necesario ser más precavido en ciertas situaciones, por ejemplo en cuestiones legales, o técnicas, y finalmente la mayor precisión del uso del idioma será asunto de escritores, críticos literarios, y estudiosos de la lengua. Pero no del público general que sólo la usa.
Yo pienso que la analogía con la matemática de esto es aplicable.
Uno puede usarla sin problemas, hasta que aparezca alguna ambigüedad que requiera mayor precisión. Siempre se puede hilar más fino, si se desea.
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Pero tarde o temprano uno cae siempre en discusiones filosóficas, si se pone a hilar fino.
Según lo que he visto a lo largo de los años, la visión griega de la matemática, al estilo platonista, o sea, de la matemática como estudio de ciertos objetos ideales, abstractos y perfectos, es algo que puede abordarse o enseñarse sin invocar todo el tiempo la exactitud de los signos de la lógica.
Y entonces me pregunto si acaso alguna vez, en un lejano futuro, cabe la posibilidad de que se descubra otra manera distinta de fundamentar la matemática, acercándose a una comprensión intuitiva de los objetos matemáticos.
Me refiero a que la precisión que requiere la matemática podría obtenerse, si hay suerte, por vía intuitiva, y no necesariamente por medio de signos escritos en un papel.
Fijate que los signos mismos de la lógica y las construcciones respectivas requieren que uno haga razonamientos sobre ellas.
Se llama metalógica y metalenguaje a esto.
Sobre esto uno debe hacer también formalización y aplicar rigor.
Pero no se puede usar el mismo lenguaje de primer orden para explicarse a sí mismo.Se requiere de un meta-meta-lenguaje, y así por el estilo.
¿Y entonces, qué es lo que estamos haciendo?
Si los lenguajes y los metalenguajes se vuelven
"materia de investigación" dentro de la
matemática misma, ¿entonces cuál es el fundamento último de ella?
El esquema constructivista
SIGNOS ---> LENGUAJES ---> AXIOMAS LOGICOS ---> AXIOMAS MATEMATICOS (CONJUNTOS) ---> MATEMATICA
no me parece que sea la última palabra en el asunto.
Parece un esquema ideal, deseable, pero me pregunto si tal cosa es posible.
Después de todo, los LENGUAJES son estudiables dentro de la MATEMATICA, y se los debe estudiar "como en el aire".
Si se pretende formalizar, se termina en una construcción infinita hacia atrás, y la comprensión global total del asunto no se puede lograr con meros signos.
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Pero bueno. Todo esto es mi opinión en contra de lo que has dicho de que sin las fórmulas lógicas se obtiene un entendimiento errado de la matemática.
No creo que en la actualidad haya alguien capaz de entender completamente el "significado" de la matemática, de los signos, o de los axiomas.
¿O sí?
