Adjunto la traducción de un texto de Michael McClennen (Dc de ciencia computacional de la Universidad de Michigan). Que tiene que ver con lo que restituto parece intentar indagar en este otro hilo:
Spoiler
Sí, el argumento diagonal de Cantor es realmente correcto. Sin embargo, hay un añadido importante: no implica lo que muchos dicen que implica.
Específicamente, el argumento diagonal por sí mismo no implica la existencia de conjuntos más grandes que el conjunto de los números naturales. Esta implicación solo se sostiene en ciertos marcos lógicos, y no en otros. La buena noticia es que puedes elegir en qué marco lógico deseas trabajar. Puedes optar por hacer matemáticas en un marco en el que algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros, o puedes elegir hacer matemáticas bajo un conjunto diferente de suposiciones bajo las cuales todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Ambas son elecciones igualmente válidas.
La mayoría de los matemáticos hoy eligen trabajar dentro del marco lógico llamado ZFC, en el cual el argumento diagonal sí implica la existencia de diferentes tamaños de infinito. Sin embargo, no hay razón para creer que ZFC es una descripción correcta del mundo, tanto como cualquiera de las alternativas. La mayoría de los matemáticos usan ZFC por conveniencia, porque les permite probar ciertas afirmaciones que los matemáticos piensan que deberían ser probables, como "todo espacio vectorial tiene una base". Pero, en última instancia, ZFC es una herramienta que los matemáticos usan para probar cosas y no una descripción de "cómo es realmente el mundo".
Me molesta cuando la gente generaliza inapropiadamente de la declaración "X es verdadero bajo ZFC" a "X es verdadero". Desafortunadamente, muchas personas hacen tales generalizaciones, ya sea explícitamente o sin pensar.
Si uno en cambio elige hacer matemáticas bajo la suposición básica de que "nada puede decirse que existe a menos que pueda caracterizarse de manera finita", entonces las consecuencias del argumento diagonal son muy diferentes. Las describiré a continuación. Personas como yo, que hacemos matemáticas basadas en esta suposición o alguna formulación similar, tendemos a llamarnos a nosotros mismos finitistas. Esta suposición no es consistente con el Axioma de Elección, pero sí es consistente con muchas formulaciones de la teoría de conjuntos que no contienen ese axioma. Tales formulaciones, junto con la suposición de caracterización finita, proporcionan una base sólida para el cálculo, la teoría de números, la mayor parte del análisis real y complejo, casi todo el álgebra, y en particular toda la matemática que subyace a la ciencia, la ingeniería, la informática y todas las demás empresas analíticas que usamos para comprender y manipular nuestro mundo físico. En resumen, trabajar bajo esta suposición no te limita en lo más mínimo a menos que seas un matemático que quiere probar teoremas específicos que dependen del Axioma de Elección.
Lo que el argumento diagonal implica realmente
Cantor presentó varias versiones diferentes de su argumento diagonal. En esencia, la formulación más rigurosa de estas demuestra que la siguiente declaración es absolutamente y sin lugar a dudas verdadera, dadas algunas nociones básicas de lo que es un conjunto:
"Existen algunos conjuntos infinitos que no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales".
Eso es todo. Una declaración muy significativa, pero no aparentemente revolucionaria.
Lo que esta declaración significa depende enteramente de otras suposiciones que elijas como base para tu razonamiento matemático. En particular, depende de un concepto llamado ordenamiento bien fundado.
Ordenamiento bien fundado
Un conjunto infinito S se puede llamar "bien ordenado" o "susceptible de ser bien ordenado" si y solo si existe una relación que asigna a cada subconjunto de S un elemento de ese subconjunto que puede considerarse el "primer elemento". En otras palabras, un ordenamiento bien fundado elige un primer elemento de cada subconjunto posible. Si tal relación existe, entonces, en principio, puedes comenzar con el "primer elemento" del conjunto entero y, al eliminar este elemento del conjunto y luego sucesivamente eliminar el "primer elemento" de cada subconjunto restante, eventualmente puedes recorrer todo el conjunto en una única secuencia extendida.
Para ser claros, este tipo de ordenamiento es diferente del usual ordenamiento de "mayor o menor" que aplicamos a los números. Por ejemplo, el ordenamiento usual de los enteros no es un ordenamiento bien fundado, porque no tiene un elemento más pequeño. Un posible ordenamiento bien fundado de los enteros es: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, …
Está claro que muchos conjuntos comunes como los números naturales, los enteros y los racionales tienen un ordenamiento bien fundado. Hay otros, como el continuo y el conjunto potencia de los números naturales, para los cuales esto no es tan claro.
Ahora, volvamos nuestra atención de nuevo al argumento diagonal.
Si un conjunto S tiene un ordenamiento bien fundado, y si S también es del mismo tamaño que el conjunto de los números naturales, entonces este ordenamiento bien fundado genera implícitamente una correspondencia uno a uno entre S y los números naturales. El "primer elemento" de S corresponde a 0, el "primer elemento" del resto corresponde a 1, el "primer elemento" después de eso corresponde a 2, y así sucesivamente para todos los demás. Por lo tanto, la conclusión del argumento diagonal puede reformularse de la siguiente manera:
"Existen algunos conjuntos infinitos para los cuales una de las siguientes debe ser verdadera: o tal conjunto no tiene un ordenamiento bien fundado, o es más grande que el conjunto de los números naturales".
Hay muchos conjuntos de importancia fundamental que tienen esta propiedad, incluido el continuo (los números reales), el conjunto de todas las funciones del continuo a sí mismo, el conjunto potencia de los números naturales y muchos otros conjuntos derivados de estos. Si estás haciendo matemáticas que tocan cualquiera de estos conjuntos, puedes elegir cualquiera de estas posibilidades que te guste, pero te ves obligado a elegir una de ellas. Este es el verdadero significado del argumento diagonal.
Diferentes suposiciones
Como mencioné anteriormente, si las matemáticas en las que estás interesado son las matemáticas que son necesarias para la ciencia, la ingeniería y todas las demás formas de entender el mundo físico, eres libre de elegir cualquiera de estas posibilidades. Tu elección no afectará ninguna de las conclusiones matemáticas que necesitas para hacer tu trabajo. En este sentido, para todos excepto los matemáticos puros, la elección es puramente filosófica.
Hasta donde sé, todos los que reflexionan profundamente sobre este tema terminan eligiendo una u otra opción de manera absoluta. La mayoría (pero no todos) de los matemáticos de los siglos XX y XXI han terminado eligiendo la segunda opción, que algunos conjuntos son más grandes que los números naturales. Lo hacen basando explícitamente su matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen un orden bien fundado". Esta declaración fue reformulada por Zermelo como el Axioma de Elección lógicamente equivalente. Como mencioné anteriormente, esta suposición tiene el beneficio de permitir la demostración de teoremas como "todo espacio vectorial tiene una base" y "todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal". Estos tipos de teoremas no son necesarios si uno trabaja solo con la matemática que describe el mundo físico, porque esta matemática se basa en espacios vectoriales específicos cuyas bases son conocidas, anillos específicos que tienen ideales maximals conocidos y otros conjuntos que están explícitamente definidos para tener las propiedades necesarias para los usos a los que se destinan.
Personas como yo que eligen la primera opción sienten que afirmar la existencia de conjuntos cuya membresía nunca puede ser conocida conduce a la absurdidad. Fundamentamos nuestro razonamiento, en cambio, basando explícitamente nuestra matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen solo aquellos miembros que pueden ser caracterizados de manera única de alguna forma finita". Bajo esta suposición, cosas que no pueden ser abarcadas de manera finita como las funciones de elección o "secuencias infinitas de dígitos aleatorios" no existen realmente y no son temas adecuados para el razonamiento matemático.
No importa qué lenguaje o sistema formal se use para describir objetos matemáticos, existe alguna codificación que mapea cada declaración diferente en ese lenguaje o sistema a un número natural único. Por lo tanto, el conjunto de todas las descripciones únicas posibles de cosas es igual en tamaño al conjunto de los números naturales. Esto implica que el conjunto de todas las diferentes cosas matemáticas que podrían existir posiblemente es igual en tamaño a los números naturales. Bajo esta suposición, simplemente estamos volviendo a la idea de infinito que fue universalmente aceptada hasta mediados del siglo XIX: hay conjuntos finitos y hay conjuntos infinitos, y todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño.
Si eliges este tipo de marco, entonces el argumento diagonal tiene una implicación muy diferente. Implica que ciertos conjuntos, aquellos a los que se refiere como "infinitos no contables", no tienen un orden bien fundado. Son incontables no porque sean demasiado grandes para ser contados, sino porque no existe ninguna forma de que puedan ser ordenados para ser contados.
Quiero enfatizar nuevamente que esta es una forma igualmente válida de ver el argumento diagonal y es una perspectiva que, de hecho, un número no trivial de matemáticos adopta. Son una minoría decidida, pero existen.
Sólo soy un aficionado de estos temas, pero me ha parecido interesante.