[RDC]

una duda tonta:

el axioma del par dice que dado dos conjuntos, \( x,y \) diferentes, entonces siempre existe otro conjunto $$z, z=\left\{{x,y}\right\}$$.

¿qué ocurre, entonces, si $$x$$ es el conjunto de todos los elementos que nunca pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$?

Gracias

[geómetracat]

el axioma del par dice que dado dos conjuntos, \( x,y \) diferentes, entonces siempre existe otro conjunto $$z, z=\left\{{x,y}\right\}$$.

¿qué ocurre, entonces, si $$x$$ es el conjunto de todos los elementos que nunca pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$?

Pues yo diría que nada especial. Lo único que implica el axioma del par en esta situación es que \( x \) no es un elemento de sí mismo. De hecho, como puedes aplicar el axioma del par a cualquier conjunto \( z \) (e \( y \)) para formar el conjunto \( \{z,y\} \), lo que tienes es que el conjunto que mencionas es el conjunto vacío.

De todas formas, ten cuidado al hablar de cosas como "el conjunto de todos los elementos que...", porque la existencia de este tipo de conjuntos no está en general garantizada por los axiomas. Piensa, por ejemplo, en el conjunto de Russell "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos", que no existe (como conjunto) en la teoría.

[Carlos Ivorra]

Se puede decir un poco más. Si \( x \) es el conjunto de todos los elementos que no están en un conjunto que tiene a \( y \) por elemento, entonces \( x = \emptyset \), precisamente por el axioma del par, y eso no contradice que existan los pares \( \{\emptyset, y\} \), para cualquier \( y \).

Por cierto, el axioma del par no exige que \( x, y \) sean distintos.

[feriva]

una duda tonta:

el axioma del par dice que dado dos conjuntos, \( x,y \) diferentes, entonces siempre existe otro conjunto $$z, z=\left\{{x,y}\right\}$$.

¿qué ocurre, entonces, si $$x$$ es el conjunto de todos los elementos que nunca pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$?

Gracias

Ahí entra la cuestión de las definiciones, la diferencia entre el “pertenece” y el “contenido”.

En el conjunto \( A=\{x,y\} \), “x” pertenece a “A”, “y” pertenece a “A”, pero \( \{x,y\} \) no pertence a “A”, está contenido en “A” (los conjuntos están contenidos en sí mismos).

Pero hay que entenderlo bien. Si haces esto \( \{x,y,\{x,y\}\} \), ése es un nuevo conjunto, no es “A”, porque “A” tiene cardinal dos y ese nuevo conjunto tiene cardinal tres, luego son conjuntos distintos.

En conjuntos con caridinal finito no va a dar problema meter al conjunto como elemento, porque simplemente se transforma en otro conjunto distinto.

Lo que da problemas es el conjunto de todas las partes, de "todas".
Si considero esto, \( \{x,y,\{x,y\}\} \), entonces puedo considerar las partes combinando elementos, \( \{x,\{x,y\}\} \), \( \{y,\{x,y\}\} \)... etc. Pero si esas partes las meto en el conjunto como elementos, entonces puedo formar más partes y, con esas partes que he metido, más partes nuevas... y así sin terminar nunca. Éso es lo que da guerra.

Para mí (es opinión personal) precisamente está relacionado con el tiempo. Porque si consideramos el conjunto formado, sin tiempo, sin que nosotros vayamos formando las nuevas partes, entonces existen elementos que están en el conjunto pero no están en el conjunto, porque si están, el conjunto no está completo, dado que se pueden formar más partes, si no están, entonces tampoco está completo, porque faltan partes.

Y aquí entra también la cuestión de las dos palabritas de marras, pues el conjunto de todas las partes no existe, pero sí existe el conjunto de tantas partes como se quiera, sin límite; algo similar al cardinal de los naturales. Desde ese punto de vista podemos considerar el conjunto de todos los naturales; yo a eso le llamo “potencial”, no “actual”. Pero da igual como se le llame, la cosa es que a la hora de resolver problemas de límites o lo que sea estemos de acuerdo en los resultados. No importa si el tiempo importa, importa que estemos de acuerdo en qué es correcto y qué no lo es

Saludos.

[RDC]

el axioma del par dice que dado dos conjuntos, \( x,y \) diferentes, entonces siempre existe otro conjunto $$z, z=\left\{{x,y}\right\}$$.

¿qué ocurre, entonces, si $$x$$ es el conjunto de todos los elementos que nunca pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$?

Pues yo diría que nada especial. Lo único que implica el axioma del par en esta situación es que \( x \) no es un elemento de sí mismo. De hecho, como puedes aplicar el axioma del par a cualquier conjunto \( z \) (e \( y \)) para formar el conjunto \( \{z,y\} \), lo que tienes es que el conjunto que mencionas es el conjunto vacío.

De todas formas, ten cuidado al hablar de cosas como "el conjunto de todos los elementos que...", porque la existencia de este tipo de conjuntos no está en general garantizada por los axiomas. Piensa, por ejemplo, en el conjunto de Russell "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos", que no existe (como conjunto) en la teoría.

Se puede decir un poco más. Si \( x \) es el conjunto de todos los elementos que no están en un conjunto que tiene a \( y \) por elemento, entonces \( x = \emptyset \), precisamente por el axioma del par, y eso no contradice que existan los pares \( \{\emptyset, y\} \), para cualquier \( y \).

Por cierto, el axioma del par no exige que \( x, y \) sean distintos.

Ok geómetrecat y Carlos.

geómetrecat: bueno, luego, $$x$$ podría ser un conjunto formado por elementos que no pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$.

Carlos: Es verdad, $$x,y$$ pueden ser el mismo conjunto

[RDC]

una duda tonta:

el axioma del par dice que dado dos conjuntos, \( x,y \) diferentes, entonces siempre existe otro conjunto $$z, z=\left\{{x,y}\right\}$$.

¿qué ocurre, entonces, si $$x$$ es el conjunto de todos los elementos que nunca pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$?

Gracias

Ahí entra la cuestión de las definiciones, la diferencia entre el “pertenece” y el “contenido”.

En el conjunto \( A=\{x,y\} \), “x” pertenece a “A”, “y” pertenece a “A”, pero \( \{x,y\} \) no pertence a “A”, está contenido en “A” (los conjuntos están contenidos en sí mismos).

Pero hay que entenderlo bien. Si haces esto \( \{x,y,\{x,y\}\} \), ése es un nuevo conjunto, no es “A”, porque “A” tiene cardinal dos y ese nuevo conjunto tiene cardinal tres, luego son conjuntos distintos.

En conjuntos con caridinal finito no va a dar problema meter al conjunto como elemento, porque simplemente se transforma en otro conjunto distinto.

Lo que da problemas es el conjunto de todas las partes, de "todas".
Si considero esto, \( \{x,y,\{x,y\}\} \), entonces puedo considerar las partes combinando elementos, \( \{x,\{x,y\}\} \), \( \{y,\{x,y\}\} \)... etc. Pero si esas partes las meto en el conjunto como elementos, entonces puedo formar más partes y, con esas partes que he metido, más partes nuevas... y así sin terminar nunca. Éso es lo que da guerra.

Para mí (es opinión personal) precisamente está relacionado con el tiempo. Porque si consideramos el conjunto formado, sin tiempo, sin que nosotros vayamos formando las nuevas partes, entonces existen elementos que están en el conjunto pero no están en el conjunto, porque si están, el conjunto no está completo, dado que se pueden formar más partes, si no están, entonces tampoco está completo, porque faltan partes.

Y aquí entra también la cuestión de las dos palabritas de marras, pues el conjunto de todas las partes no existe, pero sí existe el conjunto de tantas partes como se quiera, sin límite; algo similar al cardinal de los naturales. Desde ese punto de vista podemos considerar el conjunto de todos los naturales; yo a eso le llamo “potencial”, no “actual”. Pero da igual como se le llame, la cosa es que a la hora de resolver problemas de límites o lo que sea estemos de acuerdo en los resultados. No importa si el tiempo importa, importa que estemos de acuerdo en qué es correcto y qué no lo es

Saludos.

Veo que enlazas este tema con el otro sobre el tiempo jajaja. Y además introduces el tema de "si existe el conjunto de todos los conjuntos posibles".

Interesante feriva

[geómetracat]

geómetrecat: bueno, luego, $$x$$ podría ser un conjunto formado por elementos que no pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$.

Pero lo que te decíamos tanto Carlos como yo es que por el axioma del par todo conjunto es elemento de un conjunto del que también es elemento \( y \). Por tanto, \( x=\emptyset \).

Si quieres piénsalo de la siguiente manera. Sea \( z \) un conjunto cualquiera. Por el axioma del par aplicado a \( z,y \) tienes que \( \{z,y\} \) es un conjunto. Luego \( z \) es elemento de un conjunto al que pertenece \( y \), y por tanto \( z\notin x \). Así, \( x=\emptyset \).

Pero esto no lleva a ninguna contradicción ni nada parecido, que creo que era a dónde apuntabas en tu primer mensaje.

[feriva]

Veo que enlazas este tema con el otro sobre el tiempo jajaja. Y además introduces el tema de "si existe el conjunto de todos los conjuntos posibles".

Interesante feriva

Claro, me parece correcto decirlo así, todos los posibles, porque los imposibles nos dan igual. No es por falta de buena voluntad, es que no podemos llegar más lejos

*(por cierto, en el otro hilo, en el del tiempo, no me habían salido las rayas de fracción en las expresiones, porque primero lo he escrito en un editor latex y después lo he pegado en el LibreOffice para ver si me había comido letras y eso (el editor latex no tiene corrector en español) con lo que no se entendían las cuentas. Ya lo he puesto bien).

Saludos.

[RDC]

geómetrecat: bueno, luego, $$x$$ podría ser un conjunto formado por elementos que no pueden estar en un conjunto que tenga por elemento a $$y$$.

Pero lo que te decíamos tanto Carlos como yo es que por el axioma del par todo conjunto es elemento de un conjunto del que también es elemento \( y \). Por tanto, \( x=\emptyset \).

Si quieres piénsalo de la siguiente manera. Sea \( z \) un conjunto cualquiera. Por el axioma del par aplicado a \( z,y \) tienes que \( \{z,y\} \) es un conjunto. Luego \( z \) es elemento de un conjunto al que pertenece \( y \), y por tanto \( z\notin x \). Así, \( x=\emptyset \).

Pero esto no lleva a ninguna contradicción ni nada parecido, que creo que era a dónde apuntabas en tu primer mensaje.

Sí, gracias geométrecat!

[RDC]

Veo que enlazas este tema con el otro sobre el tiempo jajaja. Y además introduces el tema de "si existe el conjunto de todos los conjuntos posibles".

Interesante feriva

Claro, me parece correcto decirlo así, todos los posibles, porque los imposibles nos dan igual. No es por falta de buena voluntad, es que no podemos llegar más lejos

Por ciento, como curiosidad: ¿será numerable el conjunto de lo imposible?

*(por cierto, en el otro hilo, en el del tiempo, no me habían salido las rayas de fracción en las expresiones, porque primero lo he escrito en un editor latex y después lo he pegado en el LibreOffice para ver si me había comido letras y eso (el editor latex no tiene corrector en español) con lo que no se entendían las cuentas. Ya lo he puesto bien).

Saludos.
[/quote]

Ok!