Hola
RDC: te voy a contestar una última vez por deferencia. Pero no voy a seguir con este debate. Desde mi punto de vista ves problemas y contradicciones donde no las hay (o yo no las veo en absoluto). Entonces es un diáolgo que no tiene sentido.
mmm... no entiendo muy bien a qué viene discutir que el conjunto \( \{12,1421\} \) tiene o no tiene el 2. Des del principio me centro en los conjuntos del tipo \( A_n=\left\{{1,2,3,...,n}\right\} \).
Pues sirva de ejemplo para lo que me pasa a mi cuando te leo. Para mi tiene tanto sentido que tu veas un problema que en \( \Bbb N \) no haya un número para denotar su cardinal como que no lo haya en \( \{12,1421\} \). Tan gratuito es ver un problema en una cosa como la otra.
Para mi dices cosas análogas a:
"si elevo un número natural mayor que uno al cuadrado siempre da otro número mayor: \( 2^2>2 \), \( 3^2>3 \).. pero si lo hacemos con el uno, no ocurre así \( 1^2=1 \). ¿¡Qué hacemos con esta contradicción!?¿deberíamos de no considerar al \( 1 \) natural". Si a ti te suena absurdo esto, pues así me suenas tu cuando te leo en este mensaje.
Y me centro en este tipo específico de conjuntos porque precisamente en ellos se constata que su elemento más grande, $$n$$, siempre es, precisamente, su cardinal, con lo cual si vamos tomando $$n$$ cada vez más grandes hasta decidir que ya no existe un $$n$$ porque queremos indicar q el conjunto no termina nunca, entonces no existe un cardinal para tal conjunto.
Si existe un cardinal; de hecho grosso modo el cardinal es la clase de equivalencia por la relación de biyección. Es decir el cardinal uno está representando por cualquier conjunto con un elemento y lo denotamos por el simbolito \( 1 \). El cardinal dos está representado por cualquier conjunto de dos elementos y lo simbolizamos por el \( 2 \). Y por tanto cualquier conjunto determina un cardinal. El cardinal de \( \Bbb N \) está representado por el propio conjunto de naturales y ponle el simbolito que te de la gana (suele usarse \( \aleph_0 \).
Esto con el concepto moderno de cardinal.
Ciertamente podemos decir, entonces, que el cardinal es infinito, pero eso sólo significa que no hay cardinal,
Pues esa afirmación en rojo para mi es gratuita. Pareciera que tu lo dices como si se dedujese de algún razonamiento previo. Para mi no viene a cuento.
es decir, que no hay un último número que le dé tamaño y finitud al conjunto.
Evidentemente lo que no puedes pretender es que a un conjunto INFINITO se de de FINITUD. Y para mi llegamos a otro punto: mi impresión es que tu simplemente no quieres considerar conjuntos infinitos. Si eso. Fin de la historia. En mi opinión los argumentos que das son sin sentidos; pero es cierto que el paso de lo finito a lo infinito es un "salto"; ahí no entro.
Ahora bien, si de esta idea, que acepto sin problemas, hacemos un salto lógico y pasamos a afirmar que para este conjunto que carece de un último elemento natural sí existe cardinal, pero tal cardinal ya no es ningún natural sino un tipo de número muy superior a los naturales, entonces estamos diciendo, no sólo que su cardinal no es ninguno de sus propios elementos, sino que será mucho mayor que cualquiera de sus elementos.
Volvemos a lo mismo, ¿por qué un conjunto debería de tener como elemento a su propio cardinal? Es una exigencia absurda. Y por otra parte si los números naturales sólo representan cardinales de conjuntos finitos, obviamente el cardinal de un conjunto infinito no estará representado por un número natural. E
l ver un problema en eso cosa tuya. Yo no lo veo. Y no hay objetivamente ninguna contradicción en ello.Por tanto, entiendo, eso indica que ese conjunto tiene más elementos de los que tiene
,
No, no indica eso. Un conjunto tiene los elementos que tiene. Eso es una perogrullada.
es decir, ese conjunto tiene un número de elementos mayor que cualquier número natural.
¡Qué tendrá que ver eso con tener más elementos de los que tiene!.
Sin embargo, sólo tiene naturales -todos los naturales posibles. ¿Me equivoco?
Y dale. ¿Por qué un conjunto habría de contener al símbolo que usemos para representar su cardinal?. Exigencia sin sentido.
En tal sentido, pues, ello nos lleva a considerar que un conjunto tiene un número mayor de elementos de los que tiene.
No. Ya te explicado que esa frase no tiene sentido y no se deduce de nada de lo que dices antes. Que el conjunto de los naturales no contenga como elemento al símbolo que usemos para denotar su cardinal, no implica, no se corresponde con esa absurda frase de "tener más elementos de los que tiene".
Y, ¿no es eso contradictorio?
Tu frase absurda si. Lo demás no.
Ya comenté una forma de entender acaso eso hace meses atrás, y era precisamente la que has dicho tu: nos inventamos un número supranatural, acaso el infinito natural, y listo. Si te acuerdas, propuse la existencia, dentro de los naturales, de números supranaturales. Estos se podrían representar como números naturales de infinitas cifras (incluso abrí un hilo al respecto).
Yo ni he hablado nada de eso. Simplemente añadía UN elemento más, por definición mayor que cualquier natural para representar el cardinal de los naturales.
Sin embargo, por aquel entonces me lo criticaste diciendo que esos números, vale, pero que no eran naturales, porque estaba muy bien definido lo que son los naturales. Para empezar, siempre son números finitos.
Insisto en que no tiene nada que ver. Además tu pretendías ingenuamente con aquella construcción hacer un requiebro al Teorema de Cantor, de manera que esos supranaturales si tendría en mismo cardinal que el conjunto de partes de los naturales. El problema es que lo que no conseguirías es que los supranaturales tuviesen el mismo cardinal que el conjunto de partes de supranaturales. La trampa es que al principio no usabas la palabra "supranatural" y mezclabas el cardinal de los naturales usuales y sus conjuntos de partes con el de tus nuevos naturales.
Por tanto, entiendo q esta opción que ahora propones no vale cuando hacemos frente a esta contradicción de considerar que un conjunto, como el de los naturales, tenga más elementos de los que tiene. ¿Qué hacemos entonces?
¿Ves? Por esto veo absurdo el debate. Insistes en tu frase absurda que no viene a cuento, y en ver una contradicción donde no la hay. Cuándo dices "¿qué hacemos?" me interpelas retóricamente para resolver un problema que simplemente yo no veo que exista.
El símbolo \( \infty \) no significa, de por sí, que estemos algo más grande de lo normal (en este caso ante algo mayor que cualquier número natural), simplemente significa que estamos ante algo no tiene límite, ni fin, en este caso, no tiene un número natural que sea "el último y el mayor". Nada más. ¿No estás de acuerdo?
Yo lo que digo es que DEFINAMOS \( \infty \) como el símbolo para denotar el cardinal de los naturales, y se lo añadamos a los naturales como un elemento mayor que todos ellos. Todo esto por definición. Así que no tienes nada que discutir ahí.
pues, no tengo ningún problema en escribirlo, pero como ya he dicho no veo que eso indique que escribiendo \( A_\infty=\{1,2,3,\infty\} \)
Te has comido los puntos suspensivos. No se si has entendido que \( A_\infty=\Bbb N\cup \{\infty\} \).
Fíjate que yo no es que proponga seriamente esta construcción. Lo que digo es que añadiendo un único elemento a los naturales, se puede extender la idea de que todos esos conjuntos de elementos comprendidos entre \( 1 \) y un máximo, tengan su cardinal representado por un elemento. Incluido el conjunto total que tiene infinitos elementos.
En fin, suerte.
Saludos.
AÑADIDO:
Releyendo tus respuestas a otros:Correcto, el problema que le veo es que está claro que la cardinalidad de $$\Bbb N$$ no puede ser un número natural, pero tampoco puede ser un número supranatural (lo que normalmente se dice "infinitos elementos"), por el motivo que te he dicho antes: eso indicaría que $$\Bbb N$$ tiene por elementos todos los naturales y algo más.
Es que, ¿por qué el conjunto \( \Bbb N \) debería de contener a los cardinales de cualquier conjunto?. Eso es una exigencia que pones tu que no tiene fundamento alguno. Dicho informalmente: los números naturales por su propia esencia sirven para contar un número finito de elementos. Pretender que sirvan para "contar" un número infinito de elementos es una pretensión sin sentido.
Entonces de acuerdo que la cardinal de los naturales no es un natural. ¿Y qué?¿por qué había de ser eso un problema?.
